已知:⊙O的直徑為3,線段AC=4,直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A,M.
(1)求證:點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn);
(2)求sin∠PMC的值.
解:(1)證明:如圖,連接OM,
∵直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A,M,
∴PM=PA,OM⊥BC,BA⊥AC。
∴∠OMP=90°,∠BAC=90°。
∴∠1+∠2=90°,∠B+∠C=90°。
∵OB=OM,∴∠2=∠B!唷1=∠C!郟C=PM。
又∵直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A,M,
∴PA=PM!郟A=PC。
∴點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)。
(2)在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,∴。
∴。
由(1)∠PMC=∠C,∴sin∠PMC= 。
【解析】
試題分析:(1)連接OM,根據(jù)切線的性質(zhì)得OM⊥BC,BA⊥AC,根據(jù)切線長定理得PM=PA,則∠1+∠2=90°,∠B+∠C=90°,而∠2=∠B,所以∠1=∠C,于是得到PC=PM,則PA=PC。
(2)由于∠PMC=∠C,在Rt△ABC中,先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=5,然后根據(jù)正弦的定義得到,于是得到sin∠PMC的值!
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