Question

已知：⊙O的直徑為3，線段AC=4，直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A，M．

（1）求證：點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)；

（2）求sin∠PMC的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，連接OM，

∵直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A，M，

∴PM=PA，OM⊥BC，BA⊥AC。

∴∠OMP=90°，∠BAC=90°。

∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°。

∵OB=OM，∴∠2=∠B�！唷�1=∠C�！郟C=PM。

又∵直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A，M，

∴PA=PM�！郟A=PC。

∴點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)。

（2）在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∴。

∴。

由（1）∠PMC=∠C，∴sin∠PMC= 。

【解析】

試題分析：（1）連接OM，根據(jù)切線的性質(zhì)得OM⊥BC，BA⊥AC，根據(jù)切線長定理得PM=PA，則∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，所以∠1=∠C，于是得到PC=PM，則PA=PC。

（2）由于∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=5，然后根據(jù)正弦的定義得到，于是得到sin∠PMC的值�！�