已知:⊙O的直徑為3,線段AC=4,直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A,M.

(1)求證:點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn);

(2)求sin∠PMC的值.

 

【答案】

解:(1)證明:如圖,連接OM,

∵直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A,M,

∴PM=PA,OM⊥BC,BA⊥AC。

∴∠OMP=90°,∠BAC=90°。

∴∠1+∠2=90°,∠B+∠C=90°。

∵OB=OM,∴∠2=∠B!唷1=∠C!郟C=PM。

又∵直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A,M,

∴PA=PM!郟A=PC。

∴點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)。

(2)在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,∴。

。

由(1)∠PMC=∠C,∴sin∠PMC=

【解析】

試題分析:(1)連接OM,根據(jù)切線的性質(zhì)得OM⊥BC,BA⊥AC,根據(jù)切線長定理得PM=PA,則∠1+∠2=90°,∠B+∠C=90°,而∠2=∠B,所以∠1=∠C,于是得到PC=PM,則PA=PC。

(2)由于∠PMC=∠C,在Rt△ABC中,先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=5,然后根據(jù)正弦的定義得到,于是得到sin∠PMC的值!

 

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