Question

12．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E為ABCD內(nèi)一點，將BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到BF，連接EF、AE、CF，EF與CB交于點G．
（1）求證：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得BE與BF的關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠ABE與∠CBF的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得BE與BF的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠BEG根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到BF，
∴BE=BF，∠EBF=90°．
∵∠ABE+∠EBG=90°，∠CBF+∠EBG=90°，
∴∠ABE=∠CBF．
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF （SAS），
∴AE=CF；
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°．
∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90°-55°=35°
∵BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到BF，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠BEG=∠BFG=45°．
∵∠EGC是△BEG的外角，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=35°+45°=80°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用余角的性質(zhì)得出∠ABE=∠CBF是解題關(guān)鍵；（2）利用三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．