Question

（2012•貴陽(yáng)）如果一條直線(xiàn)把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線(xiàn)稱(chēng)為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線(xiàn)．
（1）三角形有

無(wú)數(shù)

條面積等分線(xiàn)，平行四邊形有

無(wú)數(shù)

條面積等分線(xiàn)；
（2）如圖①所示，在矩形中剪去一個(gè)小正方形，請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)圖形的一條面積等分線(xiàn)；
（3）如圖②，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S_△ABC＜S_△ACD，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)出四邊形ABCD的面積等分線(xiàn)，并寫(xiě)出理由．

Answer 1

分析：（1）讀懂面積等分線(xiàn)的定義，得出三角形的面積等分線(xiàn)；平行四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)就是平行四邊形的一條面積等分線(xiàn)；
（2）由（1）知，矩形的一條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)就是矩形的一條面積等分線(xiàn)；
（3）能．過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接AE．根據(jù)“△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等”推知S_△ABC=S_△AEC；然后由“割補(bǔ)法”可以求得S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．

解答：解：（1）在△ABC中，做BC的中線(xiàn)AD，在這BC上任意取一點(diǎn)E，并將其與頂點(diǎn)A相連，過(guò)中點(diǎn)D做它的平行線(xiàn)，交AC與點(diǎn)F，連接EF，即是△ABC的面積等分線(xiàn)．因?yàn)檫B接EF，設(shè)EF與AD交于點(diǎn)O，作中線(xiàn)后，△ABD與△ACD的面積相等，即S_{四邊形ABEO}+S_△EOD=S_△AFO+S_{四邊形FODC}．作平行線(xiàn)后，連接EF，設(shè)EF與AD交于點(diǎn)O，則△AOF與△EOD面積相等，那么S_{四邊形ABEO}+S_△AFO=S_△EOD+S_{四邊形FODC}，即S_{四邊形ABEF}=S_△EFC，因此直線(xiàn)EF將△ABC分成了面積相等的兩部分，是三角形的面積等分線(xiàn)．因此，按這樣的做法，可以作無(wú)數(shù)條三角形的面積等分線(xiàn)．；對(duì)于平行四邊形應(yīng)該有無(wú)數(shù)條，只要過(guò)兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)的直線(xiàn)都可以把平行四邊形的面積分成2個(gè)相等的部分；
故答案是：無(wú)數(shù)；無(wú)數(shù)；

（2）如圖①所示：連接2個(gè)矩形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)的直線(xiàn)即把這個(gè)圖形分成2個(gè)相等的部分．即OO′為這個(gè)圖形的一條面積等分線(xiàn)；

（3）如圖②所示．能，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，
∴有S_△ABC=S_△AEC，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；
∵S_△ACD＞S_△ABC，
所以面積等分線(xiàn)必與CD相交，取DE中點(diǎn)F，則直線(xiàn)AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的閱讀理解能力、運(yùn)用作圖工具的能力，以及運(yùn)用三角形、等底等高性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力都有較高的要求．還滲透了由“特殊”到“一般”的數(shù)學(xué)思想．