如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,4),直線軸相交于點(diǎn)B,連結(jié)OA,拋物線從點(diǎn)O沿OA方向平移,與直線交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時停止移動.

(1)求線段OA所在直線的函數(shù)解析式;

(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,①用的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo);②當(dāng)為何值時,線段PB最短;

(3)當(dāng)線段PB最短時,相應(yīng)的拋物線上是否存在異于M的點(diǎn)Q,使△PQA的面積與△PMA的面積相等,若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

 

【答案】

(1)設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為,

∵A(2,4),∴2=4,∴=2,

∴OA所在直線的函數(shù)解析式為.                       

(2)①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,且在線段OA上移動,

=2(0≤≤2)∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

∴拋物線函數(shù)解析式為

∴當(dāng)=2時,=(0≤≤2)

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,).                      

②∵PB=

又∵0≤≤2,

∴當(dāng)=1時,PB最短.                                  

(3)存在                                             

由(2)②知:此時拋物線的解析式為,M(1,2);

∴ M到AP的距離是1,

∴ Q到AP的距離也是1,

∴ Q的橫坐標(biāo)是3

當(dāng)時,=6

此時Q的坐標(biāo)是(3,6) 

【解析】(1)由于直線OA是正比例函數(shù),根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo),即可確定該直線的解析式.

(2)①根據(jù)直線OA的解析式,可用m表示出點(diǎn)M的坐標(biāo),進(jìn)而可表示出平移后的拋物線解析式,然后將x=2代入平移后的拋物線解析式中,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo);

②點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可為線段PB的長,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得PB的最小值及對應(yīng)的m的值;

(3)若△QMA的面積與△PMA的面積相等,則P、Q到直線OA的距離相等,即可得到點(diǎn)Q的橫坐標(biāo),再代入拋物線解析式即得結(jié)果。

 

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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個動點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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5
5

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k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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