Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），直線與軸相交于點(diǎn)B，連結(jié)OA，拋物線從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時停止移動．

（1）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,①用的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)為何值時，線段PB最短；

（3）當(dāng)線段PB最短時，相應(yīng)的拋物線上是否存在異于M的點(diǎn)Q，使△PQA的面積與△PMA的面積相等，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為，

∵A（2，4），∴2=4，∴=2，

∴OA所在直線的函數(shù)解析式為．                       

（2）①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，且在線段OA上移動，

∴=2（0≤≤2）∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）

∴拋物線函數(shù)解析式為

∴當(dāng)=2時，=（0≤≤2）

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，）．                      

②∵PB=，

又∵0≤≤2，

∴當(dāng)=1時，PB最短．                                  

（3）存在                                             

由（2）②知：此時拋物線的解析式為，M（1，2）；

∴ M到AP的距離是1，

∴ Q到AP的距離也是1，

∴ Q的橫坐標(biāo)是3

當(dāng)時，=6

此時Q的坐標(biāo)是（3，6） 

【解析】（1）由于直線OA是正比例函數(shù)，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可確定該直線的解析式．

（2）①根據(jù)直線OA的解析式，可用m表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出平移后的拋物線解析式，然后將x=2代入平移后的拋物線解析式中，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可為線段PB的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得PB的最小值及對應(yīng)的m的值；

（3）若△QMA的面積與△PMA的面積相等，則P、Q到直線OA的距離相等，即可得到點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式即得結(jié)果。