如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,4),直線與
軸相交于點(diǎn)B,連結(jié)OA,拋物線
從點(diǎn)O沿OA方向平移,與直線
交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時停止移動.
(1)求線段OA所在直線的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,①用
的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo);②當(dāng)
為何值時,線段PB最短;
(3)當(dāng)線段PB最短時,相應(yīng)的拋物線上是否存在異于M的點(diǎn)Q,使△PQA的面積與△PMA的面積相等,若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為,
∵A(2,4),∴2=4,∴
=2,
∴OA所在直線的函數(shù)解析式為.
(2)①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,且在線段OA上移動,
∴=2
(0≤
≤2)∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(
,
)
∴拋物線函數(shù)解析式為
∴當(dāng)=2時,
=
(0≤
≤2)
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,).
②∵PB=,
又∵0≤≤2,
∴當(dāng)=1時,PB最短.
(3)存在
由(2)②知:此時拋物線的解析式為,M(1,2);
∴ M到AP的距離是1,
∴ Q到AP的距離也是1,
∴ Q的橫坐標(biāo)是3
當(dāng)時,
=6
此時Q的坐標(biāo)是(3,6)
【解析】(1)由于直線OA是正比例函數(shù),根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo),即可確定該直線的解析式.
(2)①根據(jù)直線OA的解析式,可用m表示出點(diǎn)M的坐標(biāo),進(jìn)而可表示出平移后的拋物線解析式,然后將x=2代入平移后的拋物線解析式中,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo);
②點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可為線段PB的長,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得PB的最小值及對應(yīng)的m的值;
(3)若△QMA的面積與△PMA的面積相等,則P、Q到直線OA的距離相等,即可得到點(diǎn)Q的橫坐標(biāo),再代入拋物線解析式即得結(jié)果。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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