Question

已知：如圖，一等邊三角形ABC紙片的邊長為2a，E是AB邊上一動點，（點E與點A、B不重合），過點E作EF∥BC，交AC于點F，設(shè)EF=x．
（1）用x的代數(shù)式表示△AEF的面積；
（2）將△AEF沿EF折疊，折疊后與四邊形BCFE重疊部分的面積為y，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得大等邊三角形的高，進(jìn)一步求得其面積．再根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方，求得△AEF的面積；
（2）此題應(yīng)分兩種情況考慮：當(dāng)折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE內(nèi)或BC邊上時，重疊部分的面積即是三角形AEF的面積；當(dāng)疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE外點A^′處時，重疊部分的面積即是三角形AEF的面積減去A′MN的面積，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算．

解答：解：（1）在等邊△ABC中，
作AD⊥BC于D，交EF于H，
∴BD=DC=

1

2

BC=a．
又∵tan∠ABD=tan60°=

AD

BD

，
∴AD=

3

a．（1分）
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴

AH

AD

=

EF

BC

，

AH

3 a

=

x

2a

．
∴AH=

3

2

x．（2分）
∴S_△AEF=

1

2

AH×EF．
S_△AEF=

1

2

3

2

x²=

3

4

x²．（3分）

（2）①當(dāng)折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE內(nèi)或BC邊上時
y=

3

4

x²（0＜x≤a）．（4分）
②當(dāng)折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE外點A^′處時，

A′F交BC于M，A′E交BC于N，連接AA′交EF于H，交BC于D，

∴

AH

AD

=

x

2a

∴

AH

HD

=

x

2a-x

，
又∵AH=A′H，
∴

A′H

HD

=

x

2a-x

，
∴

A′H

A′D

=

x

2x-2a

，
∴

S△A′EF

S△A′MN

=(

x

2x-2a

)2（5分）

3 4 x2

S△A′MN

=

x2

(2x-2a)2

，
∴S_△A’_MN=

3

4

(2x-2a)2．
∴S_{四邊形MFEN}=

3

4

x²-

3

4

(2x-2a)2．（6分）
∴y=-

3 3

4

x2+2

3

ax-

3

a2（a＜x＜2a）．（7分）

點評：此題綜合運(yùn)用了相似三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)．特別注意第2小題的兩種情況．