Question

已知（如圖）拋物線y=ax²-2ax+3（a＜0），交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，交y 軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)E在拋物線上，連接CE、AC，CE∥x軸，且CE：AC=2：．
（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）連接AE，點(diǎn)P為線段AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥y軸交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)為m，求當(dāng)m為何值時(shí)△AEF的面積最大，最大值為多少？
（4）點(diǎn)C是否在以BD為直徑的圓上？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸公式求解即可；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出CE的長(zhǎng)度，從而得到AC的長(zhǎng)，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用勾股定理列式求出OA的長(zhǎng)度，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算求出a的值，即可得到拋物線解析式；
（3）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)以及CE的長(zhǎng)度求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式得到直線AE的解析式，然后表示出PE的長(zhǎng)度，再根據(jù)S_△AEF=S_△APF+S_△PEF，列式整理即可得到△AEF的面積與m的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解；
（4）過點(diǎn)D作DG⊥y軸于G，根據(jù)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)可得∠1=45°，再根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出∠2=45°，從而得到∠BCD=90°，最后根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角即可判定點(diǎn)C在以BD為直徑的圓上．
解答：解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-=1，
∵CE∥x軸，
∴CE=2×1=2，
∵CE：AC=2：，
∴AC=，
令x=0，則y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），
∴OC=3，
根據(jù)勾股定理，OA===1，
所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0）；

（2）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線y=ax²-2ax+3得，a（-1）²-2a×（-1）+3=0，
解得a=-1，
所以，拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（3）∵C（0，3），CE∥x軸，對(duì)稱軸為直線x=1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3），
設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線AE的解析式為y=x+1，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m，
∴PF=（-m²+2m+3）-（m+1）=-m²+m+2，
∴S_△AEF=S_△APF+S_△PEF，
=（-m²+m+2）×（m+1）+（-m²+m+2）×（3-m），
=-2m²+2m+4，
=-2（m-）²+，
所以，當(dāng)m=時(shí)，△AEF的面積最大，最大值為；

（4）點(diǎn)C在以BD為直徑的圓上．
理由如下：點(diǎn)D作DG⊥y軸于G，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D（1，4），
又∵點(diǎn)C（0，3），
∴CG=DG=1，
∴∠1=45°，
令y=0，則-x²+2x+3=0，即x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），
∴OC=OB=3，
∴∠2=45°，
∴∠BCD=180°-∠1-∠2=180°-45°-45°=90°，
∴點(diǎn)C在以BD為直徑的圓上．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線的對(duì)稱軸的求解，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析，二次函數(shù)的最值問題，以及直徑所對(duì)的圓周角是直角的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解．