Question

【題目】閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC，探究PG與PC的位置關(guān)系

小穎同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．

請(qǐng)你參考小穎同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：

（1）請(qǐng)你寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系；

（2）將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題申的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明，

Answer 1

【答案】（1）線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC，理由見解析；（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可知小穎的思路為，通過判定三角形DHP和PGF為全等三角形來得出證明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點(diǎn)的條件；
（2）思路同上，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，本題中除了如（1）中證明△GFP≌△HDP（得到P是HG中點(diǎn)）外還需證明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．

試題解析：（1）線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC．

理由：延長(zhǎng)GP，交CD于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD與四邊形BEFG是菱形，

∴CD∥AB∥GF，

∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，

∵P是線段DF的中點(diǎn)，

∴DP=PF，

在△DPH和△FGP中，

，

∴△DPH≌△FGP（AAS），

∴PH=PG，DH=GF，

∵CD=BC，GF=GB=DH，

∴CH=CG，

∴CP⊥HG，

即PG⊥PC；

（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化．

證明：如圖，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，

∵P是線段DF的中點(diǎn)，

∴FP=DP，

∵AD∥FG，

∴∠GFP=∠HDP．

又∠GPF=∠HPD，

∴△GFP≌△HDP

∴GP=HP，GF=HD，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°．

由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，

∴∠GBC=60°．

∴∠HDC=∠GBC．

∵四邊形BEFG是菱形，

∴GF=GB．

∵△HDC≌△GBC．

∴CH=CG．

∴PH=PG，PG⊥PC．