Question

如圖線段AB在x軸上，以AB為直徑的圓交y軸于點(diǎn)C，己知AC=2

5

，BC=

5

．
（1）求點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)為D，求四邊形ABCD的面積：
（3）求該拋物線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理和三角形相似的性質(zhì)解決問題；
（2）求出函數(shù)解析式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，分割圖形，利用梯形的面積與三角形的面積即可解答問題；
（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的對(duì)成性解答即可．

解答：解：（1）因?yàn)锳B為直徑，所以∠ACB=90°，
在直角三角形ABC中，AB=

AC2+BC2

=

(2 5 )2+( 5 )2

=5，
∵△BOC∽△BCA，
∴

BC

BO

=

AB

BC

，
∴BO=

BC2

AB

=

5 2

5

=1，AO=4，
又∵△AOC∽△COB，

OC

OB

=

OA

OC

，
即

OC

4

=

1

OC

，
解得OC=2，
由此可知點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，0），（1，0），（0，2）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)代入解析式得，

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
所以函數(shù)解析式為y=-

1

2

x²-

3

2

x+2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（-

3

2

，

25

8

）；
過點(diǎn)D作DE垂直于AB，垂足為E，如圖：
S_{四邊形ABCD}=S_△ADE+S_梯形CDEO+S_△BOC，
=

1

2

×（4-

3

2

）×

25

8

+

1

2

×（

25

8

+2）×

3

2

+

1

2

×1×2，
=

35

4

；

（3）由上圖可知，拋物線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)F與點(diǎn)C是對(duì)稱點(diǎn)，
所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了勾股定理，三角形相似的性質(zhì)，組合圖形的面積，二次函數(shù)對(duì)稱性，以及待定系數(shù)法球函數(shù)解析式．