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【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN.

(1)求證：BM=MN;

(2)若∠BAD=60°，AC平分，AC=2， 寫出求BN長的思路.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】試題分析：（1）分別根據“斜邊上的中線等于斜邊的一半”與中位線定理得到邊之間的關系，再結合已知條件進行等量代換即可。（2）)由已知可證∠DAC=∠CAB=30°，BM=AM=AC=1,根據三角形外角性質可證∠CMB=60°,根據三角形中位線定理可證MN∥AD，MN=AD=1, ∠DAC=∠NMC=30°可得三角形NMB是直角三角形,根據三角形勾股定理可得出BN的長 .

試題解析：

(1)證明：∵∠ABC=90°，M為AC中點

∴BM=AC

∵M為AC中點，N為DC中點

∴MN=AD

∵AD=AC

∴BM=MN

(2)由已知可證∠DAC=∠CAB=30°，

BM=AM=AC=1

根據三角形外角性質可證∠CMB=60°

根據三角形中位線定理可證MN∥AD，MN=AD=1, ∠DAC=∠NMC=30°

可得三角形NMB是直角三角形

根據三角形勾股定理可得出BN的長

練習冊系列答案
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（2）點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積；

（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示PM的長；

（3）在（2）的條件下，連結PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

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