閱讀:Rt△ABC和Rt△DBE,AB=BC,DB=EB,D在AB上,連接AE,AC,如圖1
求證:AE=CD,AE⊥CD.
證明:延長CD交AE于K
在△AEB和△CDB中

∴△AEB≌△CDB(SAS)
∴AE=CD
∠EAB=∠DCB
∵∠DCB+∠CDB=90°
∠ADK=∠CDB
∴∠ADK+∠DAK=90°
∴∠ADK=90°
∴AE⊥CD
(2)類比:若關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎?若成立,請給與證明;若不成立,請說明理由.將(1)中的Rt△DBE繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一個銳角,如圖2所示,問(1)中線段AE,CD間的數(shù)量;
(3)拓展:在圖2中,將“AB=BC,DB=EB”改成“BC=kAB,DB=kEB,k>1”其它條件均不變,如圖3所示,問(1)中線段AE,CD間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎?若成立,請給與證明;若不成立,請說明理由.

【答案】分析:(2)根據(jù)∠DBE=∠ABC=90°,得出∠ABE=∠DBC,再證出△AEB≌△CDB,AE=CD,∠EAB=∠DCB,再根據(jù)∠DCB+∠COB=90°,∠AOK=∠COB,得出∠KOA+∠AOK=90°,∠AKC=90°,即可證出AE⊥CD;
(3)根據(jù)BC=kAB,DB=kEB,得出=,根據(jù)∠DBE=∠ABC=90°,∠ABE=∠DBC,得出△AEB∽△CDB,==,∠EAB=∠DCB,AE=CD,再根據(jù)k>1,得出AE≠CD,最后根據(jù)∠DCB+∠COB=90°,∠AOK=∠COB,得出∠KAO+∠AOK=90°,∠AKC=90°,即可證出AE⊥CD.
解答:解:(2)AE=CD,AE⊥CD,
∵∠DBE=∠ABC=90°,
∴∠ABE=∠DBC,
在△AEB和△CDB中,

∴△AEB≌△CDB,
∴AE=CD,∠EAB=∠DCB,
∵∠DCB+∠COB=90°,∠AOK=∠COB,
∴∠KOA+∠AOK=90°,
∴∠AKC=90°,
∴AE⊥CD;

(3)AE=CD,AE⊥CD,
∵BC=kAB,DB=kEB,
==,
=,
∵∠DBE=∠ABC=90°,
∴∠ABE=∠DBC,
∴△AEB∽△CDB,
==,∠EAB=∠DCB,
∴AE=CD,
∵k>1,
∴AE≠CD,
∵∠DCB+∠COB=90°,∠AOK=∠COB,
∴∠KAO+∠AOK=90°,
∴∠AKC=90°,
∴AE⊥CD.
點評:此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),用到的知識點是相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是能在較復(fù)雜的圖形中找出相似和全等的三角形.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

(2013•保定一模)閱讀:Rt△ABC和Rt△DBE,AB=BC,DB=EB,D在AB上,連接AE,AC,如圖1
求證:AE=CD,AE⊥CD.
證明:延長CD交AE于K
在△AEB和△CDB中
∠ABE=∠CBD=90°
AB=BC
BE=DB

∴△AEB≌△CDB(SAS)
∴AE=CD
∠EAB=∠DCB
∵∠DCB+∠CDB=90°
∠ADK=∠CDB
∴∠ADK+∠DAK=90°
∴∠ADK=90°
∴AE⊥CD
(2)類比:若關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎?若成立,請給與證明;若不成立,請說明理由.將(1)中的Rt△DBE繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一個銳角,如圖2所示,問(1)中線段AE,CD間的數(shù)量;
(3)拓展:在圖2中,將“AB=BC,DB=EB”改成“BC=kAB,DB=kEB,k>1”其它條件均不變,如圖3所示,問(1)中線段AE,CD間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎?若成立,請給與證明;若不成立,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

請閱讀下列材料:
問題:將一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖1所示的方式擺放.其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中點,點D與點O重合,DF⊥AC于點M,DE⊥BC于點N.探究線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系.
小聰同學(xué)的思路是:連接OC,構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過推理使問題得到解決.

請你參考小聰同學(xué)的思路,探究并解決下列問題:
(1)直接寫出上面問題中線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系;
(2)將這幅直角三角板如圖2所示的方式擺放.使點D落在BA的延長線上,DE∥AC,F(xiàn)D的延長線與CA的延長線交于點M,BC的延長線與DE交于點N.點O是AB的中點.連接ON、OM、MN.請你判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

閱讀:Rt△ABC和Rt△DBE,AB=BC,DB=EB,D在AB上,連接AE,AC,如圖1
求證:AE=CD,AE⊥CD.
證明:延長CD交AE于K
在△AEB和△CDB中
數(shù)學(xué)公式
∴△AEB≌△CDB(SAS)
∴AE=CD
∠EAB=∠DCB
∵∠DCB+∠CDB=90°
∠ADK=∠CDB
∴∠ADK+∠DAK=90°
∴∠ADK=90°
∴AE⊥CD
(2)類比:若關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎?若成立,請給與證明;若不成立,請說明理由.將(1)中的Rt△DBE繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一個銳角,如圖2所示,問(1)中線段AE,CD間的數(shù)量;
(3)拓展:在圖2中,將“AB=BC,DB=EB”改成“BC=kAB,DB=kEB,k>1”其它條件均不變,如圖3所示,問(1)中線段AE,CD間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎?若成立,請給與證明;若不成立,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

請閱讀下列材料:
問題:將一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖1所示的方式擺放.其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中點,點D與點O重合,DF⊥AC于點M,DE⊥BC于點N.探究線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系.
小聰同學(xué)的思路是:連接OC,構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過推理使問題得到解決.

精英家教網(wǎng)

請你參考小聰同學(xué)的思路,探究并解決下列問題:
(1)直接寫出上面問題中線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系;
(2)將這幅直角三角板如圖2所示的方式擺放.使點D落在BA的延長線上,DEAC,F(xiàn)D的延長線與CA的延長線交于點M,BC的延長線與DE交于點N.點O是AB的中點.連接ON、OM、MN.請你判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案