Question

在1，2，3，…，90，91這91個自然數中，任取k個數，使得其中必有兩個自然數p、q滿足≤≤，試確定自然數k的最小值并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：首先將1～91這91個自然數分為9組，若從這91個數中取9個數，如上列9組中的最后一個1，3，6，10，16，25，39，60，91，這9個數中任意二數之比均小于或大于，找到k的取值范圍，然后根據抽屜原理證明k=10時，必有兩個數屬于同一個A_i，這兩個數就是p、q，若p＜q，則≤≤成立．
解答：解：將1～91這91個自然數分為9組：
A₁={1}，A₂={2，3}，A₃={4，5，6}，A₄={7，8，9，10}，
A₅={11，12，13，14，15，16}，A₆={17，18，19，25}，
A₇={26，27，28，39}，A₈={40，41，42，60}，
A₉={61，62，63，91}．
其中A₁中的1滿足≤1≤，其他各組中任意兩個自然數的比值均不小于且不大于．
若從這91個數中取9個數，如上列9組中的最后一個1，3，6，
10，16，25，39，60，91，這9個數中任意二數之比均小于或大于，這說明當k取9時，不一定能滿足所要求的條件，∴k≥10．
當k=10時，在1～19這91個自然數中任取10個數，這10個數可以安排到A₁～A₉各組中去，由于是10個數，而只有9個組，根據抽屜原則，必有兩個數屬于同一個A_i，這兩個數就是p、q，若p＜q，則≤≤成立．
∴k是最小值是10．
點評：本題主要考查抽屜原理的知識點，將所給的數適當地分組，就是構造抽屜常用的方法．這道題將1～91這91個自然數分成9組，每一組就相當于一個抽屜，而1～91中的自然數就是元素．