Question

如圖，已知△ABC的高AE＝5，BC＝，∠ABC＝45°，F(xiàn)是AE上的點，G是點E關(guān)于F的對稱點，過點G作BC的平行線與AB交于H、與AC交于I，連接IF并延長交BC于J，連接HF并延長交BC于K．

(1)請你探索并判斷四邊形HIKJ是怎樣的四邊形？并對你得到的結(jié)論予以證明；

(2)當(dāng)點F在AE上運動并使點H、I、K、J都在△ABC的三條邊上時，求線段AF長的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵點G與點E關(guān)于點F對稱，∴GF＝FE 　　∵HI∥BC，∴∠GIF＝∠EJF， 　　又∵∠GFI＝∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI＝JE． 　　同理可得HG＝EK，∴HI＝JK，∴四邊形HIKJ是平行四邊形． 　　(2) 　　當(dāng)F是AE的中點時，A、G重合，所以AF＝2.5． 　　如圖，∵AE過平行四邊形HIKJ的中心F， 　　∴HG＝EK，GI＝JE． 　　∴HG/BE＝GI/EC． 　　∵CE＞BE，∴GI＞HG，∴CK＞BJ． 　　∴當(dāng)點F在AE上運動時，點K、J隨之在BC上運動． 　　如圖，當(dāng)點F的位置使得B、J重合時，這時點K仍為CE上的某一點(不與C、E重合)，而且點H、I也分別在AB、AC上 　　設(shè)EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5， 　　∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5－2x，CE＝－5 　　∴△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE． 　　∴(5－2x)∶5＝5∶(－5) 　　∴x＝1，∴AF＝5－x＝4，∴＜AF≤4．