Question

如圖，過Rt△ABC的斜邊中點(diǎn)D，作BC的垂線DE，與∠BAC的平分線交于E．求證DE＝BC．

Answer 1

答案：
解析：

證明：過A作AH⊥BC，垂足為H，連接AD． 　　在Rt△ABC中，AH⊥BC，所以∠CAH＝∠B． 　　又∵　　D是BC的中點(diǎn)，所以DA＝DB，∠B＝∠DAB，∴∠DAB＝∠CAH． 　　又∵　　AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，則∠DAE＝∠HAE． 　　又∵　　DE⊥BC，AH⊥BC，所以DE∥AH． 　　則∠E＝∠HAE，∴∠E＝∠DAE，AD＝DE． 　　又∵　　D是Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，∴AD＝BC．∴DE＝BC． 　　分析：觀察圖形，BC是直角三角形的斜邊，D為BC的中點(diǎn)，若連接AD，則AD＝BC． 　　這時再考慮要證DE＝BC，那么AD是否等于DE呢？ 　　再觀察∠E是否等于∠DAE呢？ 　　在條件中說明AE是∠BAC的平分線，則∠BAE＝∠CAE，作AH⊥BC于H，則AH∥DE，∠E＝∠EAH．現(xiàn)在需要證∠DAE＝∠EAH，也可以證∠BAD＝∠CAH． 　　而在Rt△ABC中，∠CAH＝∠B．又由DB＝DA，∠B＝∠BAD，因此∠BAD＝∠CAH，這樣問題就得到證明．