如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3經過點B(-1,0)、C(3,0),交y軸于點A,將線段OB繞點O順時針旋轉90°,點B的對應點為點M,過點A的直線與x軸交于點D(4,0).直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合,∠FEH=90°,EF∥HG,EF=EH=1.直角梯形EFGH從點D開始,沿射線DA方向勻速運動,運動的速度為1個長度單位/秒,在運動過程中腰FG與直線AD始終重合,設運動時間為t秒.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)當t為何值時,以M、O、H、E為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形;
(3)作點A關于拋物線對稱軸的對稱點A′,直線HG與對稱軸交于點K,當t為何值時,以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形?請直接寫出符合條件的t值.

【答案】分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)在直角梯形的平移過程中,四邊形MOHE可能構成矩形(如答圖1所示),或菱形(如答圖2所示);本問有兩種情形,需要分類求解,注意不要漏解,而且需要排除正方形的情形;
(3)本問亦有兩種情形,需要分類求解.當直角梯形運動到△OAD內部的情形時,如答圖3所示;當直角梯形運動到△OAD外部的情形時,如答圖4所示.
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3經過點B(-1,0)、C(3,0),
,解得a=-1,b=2,
∴拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3.

(2)在直角梯形EFGH運動的過程中:
①四邊形MOHE構成矩形的情形,如答圖1所示:
此時邊GH落在x軸上時,點G與點D重合.
由題意可知,EH,MO均與x軸垂直,且EH=MO=1,則此時四邊形MOHE構成矩形.此時直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度.
過點F作FN⊥x軸于點N,則有FN=EH=1,F(xiàn)N∥y軸,
,即,解得DN=
在Rt△DFN中,由勾股定理得:DF===,
∴t=
②四邊形MOHE構成正方形的情形.
由答圖1可知,OH=OD-DN-HN=4--1=,即OH≠MO,
所以此種情形不存在;
③四邊形MOHE構成菱形的情形,如答圖2所示:
過點F作FN⊥x軸于點N,交GH于點T,過點H作HR⊥x軸于點R.易知FN∥y軸,RN=EF=FT=1,HR=TN.
設HR=x,則FN=FT+TN=FT+HR=1+x;
∵FN∥y軸,∴,即,解得DN=(1+x).
∴OR=OD-RN-DN=4-1-(1+x)=-x.
若四邊形MOHE構成菱形,則OH=EH=1,
在Rt△ORH中,由勾股定理得:OR2+HR2=OH2,
即:(-x)2+x2=12,解得x=,
∴FN=1+x=,DN=(1+x)=
在Rt△DFN中,由勾股定理得:DF===3.
由此可見,四邊形MOHE構成菱形的情形存在,此時直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度,
∴t=3.
綜上所述,當t=s時,四邊形MOHE構成矩形;當t=3s時,四邊形MOHE構成菱形.

(3)當t=s或t=s時,以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形.
簡答如下:(注:本題并無要求寫出解題過程,以下僅作參考)
由題意可知,AA′=2.以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形,則GK∥AA′,且GK=AA′=2.
①當直角梯形位于△OAD內部時,如答圖3所示:
過點H作HS⊥y軸于點S,由對稱軸為x=1可得KS=1,∴SG=KS+GK=3.
由SG∥x軸,得,求得AS=,∴OS=OA-AS=,
∴FN=FT+TN=FT+OS=,易知DN=FN=
在Rt△FND中,由勾股定理求得DF=;
②當直角梯形位于△OAD外部時,如答圖4所示:
設GK與y軸交于點S,則GS=SK=1,AS=,OS=OA+AS=
過點F作FN⊥x軸,交GH于點T,則FN=FT+NT=FT+OS=
在Rt△FGT中,F(xiàn)T=1,則TG=,F(xiàn)G=
由TG∥x軸,∴,解得DF=
由于在以上兩種情形中,直角梯形EFGH平移的距離均為線段DF的長度,則綜上所述,當t=s或t=s時,以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形.
點評:本題是動線型二次函數(shù)綜合題,圖形復雜,涉及考點較多,難度很大.
(1)本題后兩問均有兩種情形,注意分類討論思想的應用,避免丟解;
(2)讀懂題意是解決第(2)問的先決條件.特殊平行四邊形包括菱形、矩形和正方形.以此為基礎,對直角梯形平移過程中的運動圖形進行認真分析,探究在何種情形下可能構成上述的特殊平行四邊形?
(3)對圖形運動過程的分析與求解是解題的要點,也是難點.復雜的運動過程為解題增加了難度,注意分清各種運動過程中的圖形形狀;
(4)在圖形計算求解過程中,既可以利用相似關系,也可以利用三角函數(shù)關系.同學們可探討不同的解題方法.
練習冊系列答案
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如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點精英家教網(wǎng)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
(3)在拋物線上,是否存在一點P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
(4)點Q是直線BC上的一個動點,若△QOB為等腰三角形,請寫出此時點Q的坐標.(可直接寫出結果)

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(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
(2)在拋物線的對稱軸x=1上求一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,并求出此時點M的坐標.

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(1)求拋物線對應的函數(shù)關系式;
(2)動點Q從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動,同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動,過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N,交拋物線于點P,設運動的時間為t秒.
①當t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,且拋物線經過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
(2)點P是拋物線對稱軸上一點,若△PAB∽△OBC,求點P的坐標.

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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點是(-1,-4),且與x軸交于A、B(1,0)兩點,交y軸于點C;
(1)求此拋物線的解析式;
(2)①當x的取值范圍滿足條件
-2<x<0
-2<x<0
時,y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是拋物線上兩點,且y1>y2,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)直線x=t平行于y軸,分別交線段AC于點M、交拋物線于點N,求線段MN的長度的最大值;
(4)若以拋物線上的點P為圓心作圓與x軸相切時,正好也與y軸相切,求點P的坐標.

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