Question

關(guān)于x的方程|x²-x|-a=0，給出下列四個結(jié)論：
①存在實數(shù)a，使得方程恰有2個不同的實根； ②存在實數(shù)a，使得方程恰有3個不同的實根；
③存在實數(shù)a，使得方程恰有4個不同的實根；④存在實數(shù)a，使得方程恰有6個不同的實根；
其中正確的結(jié)論個數(shù)是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：首先由：|x²-x|-a=0，可得a≥0，然后分析若x²-x＞0時，由判別式可知此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，又由x²-x＜0時，分析當(dāng)△=-4a+1＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)△=-4a+1=0時，有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)△=-4a+1＜0時，沒有的實數(shù)根，即可求得答案．
解答：解：∵|x²-x|-a=0，
∴|x²-x|=a，
∴a≥0，
若x²-x＞0，
則x²-x-a=0，
∴△=（-1）²+4a=4a+1＞0，
此時方程有兩個不相等的實數(shù)根．
若x²-x＜0，
則-x²+x-a=0，即則x²-x+a=0，
∴△=（-1）²-4a=-4a+1，
當(dāng)-4a+1＞0時，0≤a＜，
此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，
當(dāng)-4a+1=0時，a=，
此時方程有兩個相等的實數(shù)根，
當(dāng)-4a+1＜0時，a＞，
此時方程沒有的實數(shù)根；
∴當(dāng)0≤a＜時，使得方程恰有4個不同的實根，故③正確；
當(dāng)a=時，使得方程恰有3個不同的實根，故②正確；
當(dāng)a＞時，使得方程恰有2個不同的實根，故①正確．
∴正確的結(jié)論是①②③．
故選C．
點評：此題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用，小心別漏解．