Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC∶BC＝4∶3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1 cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運動，速度為2 cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動．

(1)求AC、BC的長；

(2)設點P的運動時間為x(秒)，△PBQ的面積為y(cm²)，當△PBQ存在時，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；

(4)當x＝5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM得周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設AC＝4x，BC＝3x，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 　　即：(4x)2＋(3x)2＝102，解得：x＝2，∴AC＝8 cm，BC＝6 cm； 　　(2)①當點Q在邊BC上運動時，過點Q作QH⊥AB于H 　　∵AP＝x，∴BP＝10－x，BQ＝2x，∵△QHB∽△ACB， 　　∴，∴QH＝x，y＝BP·QH＝(10－x)·x＝－x2＋8x(0＜x≤3)， 　�、诋旤cQ在邊CA上運動時，過點Q作Q⊥AB于 　　∵AP＝x， 　　∴BP＝10－x，AQ＝14－2x，∵△AQH′∽△ABC， 　　∴，即：，解得：QH′＝(14－x)， 　　∴y＝PB·Q＝(10－x)·(14－x)＝x2－x＋42(3＜x＜7)； 　　∴y與x的函數關系式為：y＝； 　　(3)∵AP＝x，AQ＝14－x 　　∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，即：， 　　解得：x＝，PQ＝，∴PB＝10－x＝，∴， 　　∴當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC不相似； 　　(4)存在． 　　理由：∵AQ＝14－2x＝14－10＝4，AP＝x＝5，∵AC＝8，AB＝10， 　　∴PQ是△ABC的中位線，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC， 　　∴PQ是AC的垂直平分線，∴PC＝AP＝5，∴當點M與P重合時，△BCM的周長最小， 　　∴△BCM的周長為：MB＋BC＋MC＝PB＋BC＋PC＝5＋6＋5＝16．∴△BCM的周長最小值為16．