已知:拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個交點為A(﹣1,0)。
(1)求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標;
(2)D是拋物線與y軸的交點,C是拋物線上的一點,且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9,求此拋物線的解析式;(3)E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5:2的點,如果點E在(2)中的拋物線上,且它與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè),問:在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△APE的周長最小?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由。

解:(1)依題意,拋物線的對稱軸為x=﹣2,
∵拋物線與x軸的一個交點為A(﹣1,0),
∴由拋物線的對稱性,可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為(﹣3,0);
(2)∵拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個交點為A(﹣1,0)
∴a(﹣1)2+4a(﹣1)+t=0
∴t=3a
∴y=ax2+4ax+3a
∴D(0,3a)
∴梯形ABCD中,AB∥CD,且點C在拋物線y=ax2+4ax+3a上,
∵C(﹣4,3a)
∴AB=2,CD=4
∵梯形ABCD的面積為9
(AB+CD)·OD=9
(2+4)|3a|=(AB+CD)·OD=9
∴a±1
∴所求拋物線的解析式為y=x2+4x+3或y=﹣x2﹣4x﹣3;
(3)設(shè)點E坐標為(x0,y0),依題意,x0<0,y0>0,且

∴y0=﹣x0
①設(shè)點E在拋物線y=x2+4x+3上,
∴y0=x02+4x0+3
解方程組,
∵點E與點A在對稱軸x=﹣2的同側(cè)
∴點E坐標為(,),

設(shè)在拋物線的對稱軸x=﹣2上存在一點P,使△APE的周長最小,
∵AE長為定值,
∴要使△APE的周長最小,只須PA+PE最小
∴點A關(guān)于對稱軸x=﹣2的對稱點是B(﹣3,0)
∴由幾何知識可知,P是直線BE與對稱軸x=﹣2的交點
設(shè)過點E、B的直線的解析式為y=mx+n
,解得
∴直線BE的解析式為y=x+
∴把x=﹣2代入上式,得y=
∴點P坐標為(﹣2,
②設(shè)點E在拋物線y=﹣x2﹣4x﹣3上

∴y0=﹣x02﹣4x0﹣3,
解方程組消去y0,

∴△<0
∴此方程無實數(shù)根,
綜上,在拋物線的對稱軸上存在點P(﹣2,),使△APE的周長最小。


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線y=x2-(a+b)x+
c2
4
,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為
3
,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否精英家教網(wǎng)存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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(1)求證:拋物線與直線一定有兩個不同的交點;
(2)設(shè)拋物線與直線的兩個交點為A、B,過A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為A1、B1.令k=
c
a
,試問:是否存在實數(shù)k,使線段A1B1的長為4
2
.如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由.

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(2013•貴陽)已知:直線y=ax+b過拋物線y=-x2-2x+3的頂點P,如圖所示.
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(-1,4)
(-1,4)
;
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已知:拋物線數(shù)學(xué)公式,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為數(shù)學(xué)公式,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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