Question

如圖．已知由平行四邊形ABCD各頂點(diǎn)向形外一條直線(xiàn)l作垂線(xiàn)，設(shè)垂足分別為A′，B′，C′，D′．

（1）求證：A′A+C′C=B′B+D′D；

（2）如果移動(dòng)直線(xiàn)l，使它與四邊形ABCD的位置關(guān)系相對(duì)變動(dòng)得更特殊一些（如l過(guò)A，或l交AB，BC等），那么，相應(yīng)地結(jié)論會(huì)有什么變化？試作出你的猜想和證明；

（3）如果考慮直線(xiàn)l和平行四邊形更一般的關(guān)系（如平行四邊形變成圓，或某一中心對(duì)稱(chēng)圖形，垂線(xiàn)AA'，BB'，CC'，DD'只保持平行等），那么又有什么結(jié)論，試作出你的猜想和證明．

Answer 1

見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）連接AB、CD交點(diǎn)為O，利用梯形中位線(xiàn)定理可證．

（2）連接AB、CD交點(diǎn)為O，利用梯形中位線(xiàn)定理和三角形中位線(xiàn)定理可證．

（3）連接AB、CD交點(diǎn)為O，利用梯形中位線(xiàn)定理可證．

（1）證明：連接AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥l，

在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，

則點(diǎn)O為AC、BD的中點(diǎn)，

∴OE分別為梯形AA′C′C，梯形BB′D′D的中位線(xiàn)，

則在梯形AA′C′C中，OE=（AA′+CC′），

在梯形BB′D′D中，OE=（BB′+DD′），

∴A′A+C′C=B′B+D′D；

（2）【解析】
上述結(jié)論仍然成立．

如下圖，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥l，

在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，

則點(diǎn)O為AC、BD的中點(diǎn)，

∴OE分別為梯形DD′BB′，三角形ACC′的中位線(xiàn)，

∴OE=（AA′+CC′），OE=（BB′+DD′），

∴A′A+C′C=B′B+D′D；

（3）【解析】
如平行四邊形變成某一中心對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，上述結(jié)論仍然成立．

如下圖，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥l，

在正六邊形中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，

則點(diǎn)O為AC、BD的中點(diǎn)，

∴OE分別為梯形DD′BB′，梯形AA′CC′的中位線(xiàn)，

∴OE=（AA′+CC′），OE=（BB′+DD′），

∴A′A+C′C=B′B+D′D．