Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求當(dāng)AD+CD最小時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作⊙A
①證明：當(dāng)AD+CD最小時(shí)，直線BD與⊙A相切．
②寫出直線BD與⊙A相切時(shí)，D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)

 

．

Answer 1

分析：（1）由拋物線解析式得到其對(duì)稱軸，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求得；
（2）①由（1）所得證直線BD與⊙A相切即證AD⊥BD，根據(jù)勾股定理求得BD²+AD²=AB²；
②由①所證可知點(diǎn)D的另一個(gè)坐標(biāo)與（1）中點(diǎn)D的坐標(biāo)關(guān)于AB即x軸對(duì)稱．

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，所以連接BC，交l于點(diǎn)D，即為所求點(diǎn)．
由拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
則對(duì)稱軸為：x=1．
當(dāng)-x²+2x+3=0，
解得：x=3或x=-1．
∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），
拋物線y=-x²+2x+3當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)C（0，3）．
設(shè)直線BC為：y=kx+b，
代入點(diǎn)B，C得：k=-1，b=3，即y=-x+3，
代入對(duì)稱軸x=1，則y=2，
∴點(diǎn)D（1，2）．

（2）①由題意如圖，
∵A，B關(guān)于l對(duì)稱，
∴AD=BD，BE=2，AB=4，DE=2，
則BD=AD=

DE2+BE2

=2

2

，
∴BD²+AD²=16，
∵AB²=16，
∴BD²+AD²=AB²，
由勾股定理的逆定理知，∠ADB=90°，即AD⊥BD．
故當(dāng)AD+CD最小時(shí)，直線BD與⊙A相切．
②由①所得點(diǎn)D的另一個(gè)坐標(biāo)（1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到了根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)．以及利用勾股定理對(duì)直角三角形的判定．