Question

【題目】已知：拋物線的對稱軸為x=﹣1，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A（﹣3，0）、C（0，﹣2）．
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式．
（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最�。�請求出點P的坐標．
（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作DE∥PC交x軸于點E．連接PD、PE．設CD的長為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關系式．試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設y=ax2+bx+c（a≠0），則

，

解得 ，

∴此拋物線的解析式為y= x2+ x﹣2；

（2）解：如圖，連接AC、BC．

因為BC的長度一定，所以△PBC周長最小，就是使PC+PB最小．

B點關于對稱軸的對稱點是A點，AC與對稱軸x=﹣1的交點即為所求的點P．

設直線AC的表達式為y=kx+b，則

，

解得 ，

∴此直線的表達式為y=﹣ x﹣2，

把x=﹣1代入得y=﹣

∴P點的坐標為（﹣1，﹣ ）；

（3）解：S存在最大值，

理由：如圖，∵DE∥PC，即DE∥AC，

∴△OED∽△OAC，

∴ = ，即 = ，

∴OE=3﹣ m，OA=3，AE= m，

∴S=S△OAC﹣S△OED﹣S△AEP﹣S△PCD

= ×3×2﹣ ×（3﹣ m）×（2﹣m）﹣ × m× ﹣ ×m×1

=﹣ m2+ m

=﹣ （m﹣1）2+

∵﹣ ＜0，

∴當m=1時，S最大= ．

【解析】（1）已知拋物線過C（0，﹣2）點，那么c=﹣2；根據(jù)對稱軸為x=﹣1，因此﹣ =﹣1，然后將A點的坐標代入拋物線中，通過聯(lián)立方程組即可得出拋物線的解析式；（2）本題的關鍵是確定P點的位置，由于A是B點關于拋物線對稱軸的對稱點，因此連接AC與拋物線對稱軸的交點就是P點．可根據(jù)A，C的坐標求出AC所在直線的解析式，然后根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出與拋物線對稱軸的交點，即可得出P點的坐標；（3）△PDE的面積=△OAC的面積﹣△PDC的面積﹣△ODE的面積﹣△AEP的面積，△OAC中已知A，C的坐標，可求出△OAC的面積．△PDC中以CD為底邊，P的橫坐標的絕對值為高，即可表示出△PDC的面積．△ODE中可先用m表示出OD的長，然后根據(jù)△ODE與△OAC相似，求出OE的長，根據(jù)三角形的面積計算公式可用m表示出△ODE的面積．△PEA中以AE為底邊（可用OE的長表示出AE），P點的縱坐標的絕對值為高，可表示出△PEA的面積．由此可表示出△ODE的面積，即可得出關于S，m的函數(shù)關系式．然后根據(jù)函數(shù)的性質，求出三角形的最大面積以及對應的m的值．
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數(shù)的表達式和相似三角形的判定與性質，掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．