Question

已知關(guān)于x的方程x²-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   a=0
2. B.
   a≥0
3. C.
   a=-2
4. D.
   a＞0或a=-2

Answer 1

D
分析：分兩種情況推論：當(dāng)x≤3，方程變?yōu)椋簒²-（a+4）x+a+3=0①，△=（a+4）²-4（a+3）=（a+2）²，x₁=1，x₂=a+3；當(dāng)x＞3，方程變?yōu)椋簒²+（a-8）x+15-5a=0②，△=（a-8）²-4（15-5a）=（a+2）²，x₁=5，x₂=3-a；根據(jù)原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再推論：當(dāng)a+2=0，方程①，②都有等根，滿足條件；當(dāng)a+3＞3，且3-a＜3，即a＞0，方程①，②都只有一個(gè)根，也滿足條件．由此得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：當(dāng)x≤3，方程變?yōu)椋簒²-（a+4）x+a+3=0①，△=（a+4）²-4（a+3）=（a+2）²，x₁=1，x₂=a+3；
當(dāng)x＞3，方程變?yōu)椋簒²+（a-8）x+15-5a=0②，△=（a-8）²-4（15-5a）=（a+2）²，x₁=5，x₂=3-a；
∵原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴方程①，②都有等根，即a+2=0，a=-2；
或方程①，②都只有一個(gè)根，即a+3＞3，且3-a＜3，解得a＞0，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞0或a=-2．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b2-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了絕對(duì)值的含義和解一元二次方程．