Question

如圖，在平面直角坐標系中，A、C、D的坐標分別是（1，2）、（4，0）、（3，2），點M是AD的中點．

1.求證：四邊形AOCD是等腰梯形；

2.動點P、Q分別在線段OC和MC上運動，且保持∠MPQ=60°不變．設PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關系式；

3.在（2）中：試探究當點P從點O首次運動到點E（3，0）時，Q點運動的路徑長．

 

Answer 1

 

1.見解析

2.

3.當P點從O點運動到點E(3，0)時，Q點運動的路徑長為個單位

解析:(1)∵ y_A=y_B= ∴ AD//OC，

又線段AD、OC有共同對稱軸直線x=2，

∴OA=CD且AD≠OC

∴ 梯形AOCD是等腰梯形 …………………………… 4分

(2)易證△OMC是等邊三角形所以OM=OC=MC=4

   ∠MDC=∠QCP=60°  又∠MPQ=60°

∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°

∴∠2=∠3   所以△OMP∽△CPQ 

∴ 

化為  …………………………… 8分

(3)∵0≤x≤4

∴ x=2時，y_min=3  即MQ=3

    x=0時， y=4   即MQ=4

    x=3時， y= 即MQ=

當0≤x≤2時，Q點運動路徑長為4-3=1

當2<x≤3時，Q點運動路徑長為

∴當P點從O點運動到點E(3，0)時，

Q點運動的路徑長為個單位