Question

如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，AB經過圓心O，且與小圓相交于A，與大圓相交于點B，小圓的切線AC與大圓相交于D，OC平分∠ACB．
（1）證明：直線BC是小圓的切線；
（2）試證明：AC+AD=BC；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圓與小圓形成的圓環(huán)的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）作OE⊥BC于E，可證OE=OA，
（2）連接OD，由（1）知AC=CE，再證△AOD≌△EOB，得AD=BE，
（3）由（2）可得BE=AD=BC-AC=10-=10-6=4cm，S_{圓環(huán)}=S_大圓-S_小圓．
解答：（1）證明：作OE⊥BC于E；
∵CA是圓O的切線，
∴OA⊥CA，
∵CO平分∠ACB，
∴OE=OA，
∵A在小圓O上，
∴E也在小圓O上，
∴BC是小圓的切線．

（2）證明：連接OD，
∵AC、BC是⊙O的切線，
∴AC=CE，
在直角三角形AOD與直角三角形EOB中，
∵OD=OB，OA=OE，
∴Rt△AOD≌Rt△EOB，得AD=BE，
∴BC=AD+AC．

（3）解：由（2）可得BE=AD=BC-AC=10-=10-6=4cm，
S_{圓環(huán)}=S_大圓-S_小圓
=π（OB²-OE²）
=π•BE²
=16π（cm²）．
點評：本題考查了切線的判定，全等三角形的判定等知識點．要證某線是圓的切線，①已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可，②所證切線與圓的交點不明確，可以過圓心作該直線的垂線段，證明垂線段的長等于半徑．