Question

“相約紅色重慶，共享綠色園博”，位于重慶市北部新區(qū)的國際園林博覽會(huì)是一個(gè)集自然景觀和人文景觀為一體的大型城市生態(tài)公園．自2011年11月19日開園以來，某商家在園博園內(nèi)出售紀(jì)念品“山娃”玩偶．十周以來，該紀(jì)念品深受游人喜愛，其銷售量不斷增加，銷售量y（件）與周數(shù)x（1≤x≤10，且x取整數(shù)）之間所滿足的函數(shù)關(guān)系如下表所示：

周數(shù)x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
銷售量y（件）	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200

為回饋顧客，該商家將此紀(jì)念品的價(jià)格不斷下調(diào)，其銷售單價(jià)z（元）與周數(shù)x（1≤x≤10，且x取整數(shù)）之間成一次函數(shù)關(guān)系，且第一周的銷售單價(jià)為68元，第二周的銷售單價(jià)為66元．另外，已知該紀(jì)念品每件的成本為30元．
（1）請(qǐng)觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題意，直接寫出z與x之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）求前十周哪一周的銷售利潤最大，并求出此最大利潤；
（3）從十一周開始，其他商家陸續(xù)入駐園博園，因此該商店的銷售情況不如從前．該紀(jì)念品的銷售量比十周下降a%（0＜a＜10），于是該商家將此紀(jì)念品的銷售單價(jià)在十周的基礎(chǔ)上提高1.4a%．另外，隨著園博園管理措施的逐步完善，該商家需每周交納200元的各種費(fèi)用．這樣，十一周的銷售利潤恰好與十周持平．請(qǐng)參考以下數(shù)據(jù)，估算出a的整數(shù)值．
（參考數(shù)據(jù)：22²=484，23²=529，24²=576，25²=625）

Answer 1

解：（1）由表格數(shù)據(jù)可得：y=10x+100（1≤x≤10，且x取整數(shù)）；
設(shè)z=kx+b，將點(diǎn)（1，68），（2，66）代入可得：，
解得：，
故z=-2x+70（1≤x≤10，且x取整數(shù)）；

（2）設(shè)前十周內(nèi)第x周的銷售利潤為W（元），由題意知：W=y（z-30），
代入y，z解析式得：y=（10x+100）（-2x+70-30）=-20x²+200x+4000
=-20（x-5）²+4500，
∵-20＜0，
∴拋物線開口向下，有最大值，
∴當(dāng)x=5時(shí)，W取得最大值4500．
故前十周內(nèi)第五周的銷售利潤最大，為4500元；
（3）十周的銷售量由表知為200件．
十周的銷售單價(jià)=-2×10+70=50（元），
十周的銷售利潤=200×（50-30）=4000（元），
由題意可得：第十一周的銷售量為200（1+-a%），
第十一周的銷售單價(jià)為50（1+1.4a%），
∵十一周的銷售利潤恰好與十周持平，
∴根據(jù)題意列出方程式：200（1-a%）[50（1+1.4a%）-30]-200=4000，
設(shè)t=a%，原方程可整理為：70t²-50t+1=0，
解得t=．
∵23²=529，24²=576，而555更接近576，∴t≈，
∴t₁≈0.7或t₂≈0.014，
∴a₁≈70或a₂≈1．
∵0＜a＜10，
∴a₁≈70舍去，
∴a=1．
∴a的整數(shù)值為1．
分析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)z=kx+b，將點(diǎn)（1，68），（2，66）代入可得出z與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)前十周每周利潤為W，根據(jù)W=銷售量×（售價(jià)-成本）列出解析式，利用配方法可求最大值；
（3）求出第十周的銷售量，銷售單價(jià)，繼而求出第十一周的銷售量，銷售單價(jià)，根據(jù)題意則可得出第十一周的利潤，又根據(jù)十一周的銷售利潤恰好與十周持平列出等式，即可求出a的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意列出函數(shù)關(guān)系式，要求同學(xué)們熟練掌握用配方法求二次函數(shù)的最值問題．