Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點，,若點滿足，，則稱點為點，的衍生點.

（1）求點，的衍生點；

（2）如圖，已知是直線上的一點，，點是，的衍生點.

①求與的函數(shù)關(guān)系式；

②若直線與軸交于點，是否存在以為直角邊的，若存在，求出所有滿足條件的點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點,的衍生點是；（2）①；②存在以為直角邊的,此時滿足條件的點坐標(biāo)是或.

【解析】

（1）根據(jù)衍生點的定義即可求出答案；

（2）①先根據(jù)直線設(shè)點B的坐標(biāo)，再根據(jù)衍生點的定義求出點P的坐標(biāo)，然后化簡即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

②如圖（見解析），分PQ是另一直角邊和PA是另一直角邊兩種情況討論，設(shè)點B或點P的坐標(biāo)，再根據(jù)衍生點的定義建立等式求解即可.

（1）由衍生點的定義得：

故點,的衍生點是；

（2）①由題意設(shè)：

∵點是點的衍生點

∴,

則

∴

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為；

②存在，求解點B的坐標(biāo)過程如下：

如圖1，當(dāng)PQ是另一直角邊時

此時，

由①的結(jié)論，設(shè)，則點

由點是點的衍生點得：，

解得：

則

故此時點的坐標(biāo)為

如圖2，當(dāng)PA是另一直角邊時

此時，

因為點A的坐標(biāo)為

所以點P的橫坐標(biāo)為4，代入得：

則點P的坐標(biāo)為

設(shè)點B的坐標(biāo)為

由點是點,的衍生點得：，

解得：

則

故此時點的坐標(biāo)為

綜上，存在以為直角邊的，此時滿足條件的點坐標(biāo)為或.