Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線PM，使PM⊥AD．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，設(shè)直線PM與AD相交于點(diǎn)E，求△APE的面積；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運(yùn)動(dòng)，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)．過Q作直線QN，使QN∥PM．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤10），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為Scm²．

①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

②（附加題）求S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）①；

②當(dāng)0≤t≤6時(shí)，S的最大值為；

當(dāng)6≤t≤8時(shí)，S的最大值為；

當(dāng)8≤t≤10時(shí)，S的最大值為；

所以當(dāng)t=8時(shí)，S有最大值為．

【解析】

試題分析：（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函數(shù)可求出AE和PE，即可求出面積；

（2）①此題應(yīng)分情況討論，因?yàn)閮蓚€(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度不同，所以有點(diǎn)P與點(diǎn)Q都在AB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)Q仍在AB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在BC上運(yùn)動(dòng)三種情況，在每種情況下可利用三角函數(shù)分別求出我們所需要的值，進(jìn)而求解．

②在①的基礎(chǔ)上，首先①求出函數(shù)關(guān)系式之后，根據(jù)t的取值范圍不同函數(shù)最大值也不同．

(1) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=.

∴ S_ΔAPE=.

(2) ① 當(dāng)0≤t≤6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q都在AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)PM與AD交于點(diǎn)G，QN與AD交于點(diǎn)F，則AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.

∴ 此時(shí)兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.

當(dāng)6≤t≤8時(shí)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q仍在AB上運(yùn)動(dòng). 設(shè)PM與DC交于點(diǎn)G，QN與AD交于點(diǎn)F，則AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，

而BD=，故此時(shí)兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.

當(dāng)8≤t≤10時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在BC上運(yùn)動(dòng). 設(shè)PM與DC交于點(diǎn)G，QN與DC交于點(diǎn)F，則CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=.

∴ 此時(shí)兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.

故S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為

②(附加題)當(dāng)0≤t≤6時(shí)，S的最大值為；

當(dāng)6≤t≤8時(shí)，S的最大值為；

當(dāng)8≤t≤10時(shí)，S的最大值為；

所以當(dāng)t=8時(shí)，S有最大值為．

考點(diǎn)：本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．結(jié)合實(shí)際問題并從中抽象出函數(shù)模型，試著用函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題，學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合解答二次函數(shù)的相關(guān)題型．