Question

【題目】如果一個(gè)自然數(shù)從高位到個(gè)位是由一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)組成的，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做循環(huán)數(shù)，重復(fù)的一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字稱(chēng)為“循環(huán)節(jié)”，我們把“循環(huán)節(jié)”的數(shù)字個(gè)數(shù)叫做循環(huán)節(jié)的階數(shù)．例如：525252，它由“52”依次重復(fù)出現(xiàn)組成，所以525252是循環(huán)數(shù)，它是2階6位循環(huán)數(shù)．再如：77，是1階2位循環(huán)數(shù)，135135135是3階9位循環(huán)數(shù)．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出1個(gè)2階4位循環(huán)數(shù)　 　，并證明對(duì)于任意一個(gè)2階4位循環(huán)數(shù)，若交換其循環(huán)節(jié)的數(shù)字得到一個(gè)新的4位數(shù)，則該新數(shù)和原數(shù)的差能夠被9整除．

（2）已知一個(gè)能被9整除的2階4位數(shù)．設(shè)循環(huán)節(jié)為ab，且滿(mǎn)足a﹣2b為非負(fù)偶數(shù)，求這個(gè)4位循環(huán)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）7171，證明見(jiàn)解析；（2）這個(gè)4位循環(huán)數(shù)為6363或8181．

【解析】

（1）根據(jù)循環(huán)節(jié)”的數(shù)字個(gè)數(shù)叫做循環(huán)節(jié)的階數(shù)，可得答案；

（2）根據(jù)一個(gè)能被9整除的2階4位循環(huán)數(shù)，可得能被9整除，即（a+b）能被9整除，得到a+b=9或a+b=18，根據(jù)a﹣2b為非負(fù)偶數(shù)，分類(lèi)討論可得答案．

（1）7171是2階4位循環(huán)數(shù)；

證明：設(shè)原數(shù)為，新數(shù)為即原數(shù)1000a+100b+10a+b，新數(shù)是1000b+100a+10b+a，

1000b+100a+10b+a﹣（1000a+100b+10a+b）

=909b﹣909a

=909（b﹣a）

=9×101（b﹣a）．

∵a，b為整數(shù)，

∴b﹣a也為整數(shù)，

∴新數(shù)和原數(shù)的差能夠被9整除．

故答案為：7171．

（2）該2階4位循環(huán)數(shù)為，

即112a+11b，

要使得1010a+101b能被9整除，則需（a+b）能被9整除．

∵0＜a≤9，0＜b≤9，

∴0＜a+b≤18，

∴a，b應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系是a+b=9或a+b=18．

①當(dāng)a+b=9，即a=9-b時(shí)，

又∵a﹣2b為非負(fù)偶數(shù)，

∴9-b-2b≥0，

∴b≤3．

∵b為正整數(shù)，

∴b=1，2，3．

當(dāng)b=1時(shí)，a=8，a-2b=8-2=6是非負(fù)偶數(shù)，滿(mǎn)足條件；

當(dāng)b=2時(shí)，a=7，a-2b=7-4=3不是非負(fù)偶數(shù)，不滿(mǎn)足條件；

當(dāng)b=3時(shí)，a=6，a-2b=6-6=0是非負(fù)偶數(shù)，滿(mǎn)足條件；

∴這個(gè)4位循環(huán)數(shù)為8181或6363．

②當(dāng)a+b=18，即a=18-b時(shí)，a=b=9，此時(shí)a-2b=-9不是非負(fù)偶數(shù)，不滿(mǎn)足條件．

綜上所述：這個(gè)4位循環(huán)數(shù)為6363或8181．