Question

（2012•長(zhǎng)春一模）如圖，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C為OB上一點(diǎn)，射線CD⊥OB交AB于點(diǎn)D，OC=2．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)到點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，得到矩形PEOF．以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形QMN，斜邊MN∥OB，且MN=QC．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）．
（1）求t=1時(shí)FC的長(zhǎng)度．
（2）求MN=PF時(shí)t的值．
（3）當(dāng)△QMN和矩形PEOF有重疊部分時(shí)，求重疊（陰影）部分圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（4）直接寫出△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形，可得AP=

2

t，OF=EP=t，再將t=1代入求出FC的長(zhǎng)度；
（2）根據(jù)MN=PF，可得關(guān)于t的方程6-t=2t，解方程即可求解；
（3）分三種情況：求出當(dāng)1≤t≤2時(shí)；當(dāng)2＜t≤

8

3

時(shí)；當(dāng)

8

3

＜t≤3時(shí)；求出重疊（陰影）部分圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）分M在OE上；N在PF上兩種情況討論求得△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，△AOB、△AEP都是等腰直角三角形．
∵AP=

2

t，OF=EP=t，
∴當(dāng)t=1時(shí)，F(xiàn)C=1；

（2）∵AP=

2

t，AE=t，PF=OE=6-t
MN=QC=2t
∴6-t=2t
解得t=2．
故當(dāng)t=2時(shí)，MN=PF；

（3）當(dāng)1≤t≤2時(shí)，S=2t²-4t+2；
當(dāng)2＜t≤

8

3

時(shí)，S=-

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2

t²+30t-32；
當(dāng)

8

3

＜t≤3時(shí)，S=-2t²+6t；

（4）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)經(jīng)過t秒△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，即點(diǎn)M在OA上，
當(dāng)點(diǎn)P在AD的左側(cè)時(shí)，設(shè)經(jīng)過t秒△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，
∵AP=

2

t，∠A=45°，PE⊥AB，
∴PE=t，CQ=2t，
∵M(jìn)N=CQ，△MNQ是等腰直角三角形，C（2，0）
∴t=2時(shí)，△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)P在AD的右側(cè)時(shí)，設(shè)經(jīng)過t秒△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)，PE=t，6-t=2t-2，解得t=

8

3

，
∴△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t=2或

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)有等腰直角三角形的性質(zhì)，圖形的面積計(jì)算，函數(shù)思想，方程思想，分類思想的運(yùn)用，有一定的難度．