Question

（2013•湖州）如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PO交圓O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB．
（1）求BC的長；
（2）求證：PB是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）首先連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長；
（2）由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，繼而證得PB是⊙O的切線．

解答：（1）解：連接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，
∴弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC=OC=2；

（2）證明：∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠CBP=30°，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，
∴OB⊥BP，
∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切線．
補(bǔ)：
證明：∵OC=CP=2，
∴OP=4，
由（1）可知：BC=OC=2，
∴BC=

1

2

OP，∠BOC=60°，
∴△OBP是直角三角形，
∴∠OBP=90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切線．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．