Question

如圖，⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點B的坐標為（，0），∠CAB=90°，AC=AB，頂點A在⊙O上運動．
（1）當點A在x軸上時，求點C的坐標；
（2）當點A運動到x軸的負半軸上時，試判斷直線BC與⊙O位置關系，并說明理由；
（3）設點A的橫坐標為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求出S的最大值與最小值；
（4）當直線AB與⊙O相切時，求AB所在直線對應的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）中有兩種情況，即A點坐標為（1，0）或（-1，0），根據AB=AC，求出C點坐標．
（2）根據題意過點O作OM⊥BC于點M，求出OM的長，與半徑比較得出位置關系．
（3）過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求AE的長，然后再在Rt△BAE中求出AB的長，進而求出面積的表達式，根據定義域確定最大最小值．
（4）相切時有兩種情況，在第一象限或者第四象限，連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A點坐標，AB所在直線對應的函數關系式很容易就能求出．
解答：解：（1）當點A的坐標為（1，0）時，AB=AC=-1，點C的坐標為（1，-1）或（1，1-）；
當點A的坐標為（-1，0）時，AB=AC=+1，點C的坐標為（-1，+1）或（-1，--1）；

（2）直線BC與⊙O相切
過點O作OM⊥BC于點M，
∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=1
∴直線BC與⊙O相切；

（3）過點A作AE⊥OB于點E
在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=1-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（1-x²）+（-x）²=3-2x
∴S=AB•AC=AB²=（3-2x）=
其中-1≤x≤1，
當x=-1時，S的最大值為，
當x=1時，S的最小值為．

（4）①當點A位于第一象限時（如右圖）：
連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E
∵直線AB與⊙O相切，
∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴點O、A、C在同一條直線
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°，
在Rt△OAE中，OE=AE=，
點A的坐標為（，）
過A、B兩點的直線為y=-x+．

②當點A位于第四象限時（如右圖）：
點A的坐標為（，-）
∵B的坐標為（，0）
∴過A、B兩點的直線為y=x-．
點評：本題是一次函數與圓、三角形結合的題，用到了圓的性質，圓與直線的關系以及三角形相似等知識，知識面比較廣，要求綜合能力比較高．