Question

（2012•撫順）如圖，平行四邊形ABCD的面積是16，對角線AC、BD相交于點O，點M₁、N₁、P₁分別為線段OD、DC、CO的中點，順次連接M₁N₁、N₁ P₁、P₁M₁得到第一個△P₁M₁N₁，面積為S₁，分別取M₁N₁、N₁P₁、P₁M₁三邊的中點P₂、M₂、N₂，得到第二個△P₂M₂N₂，面積記為S₂，如此繼續(xù)下去得到第n個△P_nM_nN_n，面積記為S_n，則S_n-S_n-1=

-

12

4n

．（用含n的代數(shù)式表示，n≥2，n為整數(shù)）

Answer 1

分析：因為平行四邊形ABCD被對角線所分的四個小三角形面積相等（等底同高證得），故S_△OCD=4．又M₁、N₁、P₁分別為各邊中點，故將△OCD分為四個面積相等的三角形，S_△M1N1P1=4×

1

4

=1，依次往下，M2、N2、P2又將△M₁N₁P₁的面積分為相等四分，故S₂的面積可求，依此類推即可求出S_n和S_n-1的值，問題得解．

解答：解：∵平行四邊形ABCD被對角線所分的四個小三角形面積相等，
∴S_△OCD=16×

1

4

=4，
∵M₁、N₁、P₁分別為各邊中點，故將△OCD分為四個面積相等的三角形，
∴S_△M1N1P1=4×

1

4

=1，依次往下，M₂、N₂、P₂又將△M₁N₁P₁的面積分為相等四分，故S₂=S_△M2N2P2=

1

4

S_△M1N1P1=4×

1

4

×

1

4

=4×

1

42

，
依此類推…
∴S_n=4×

1

4n

，
∴S_n-1=4×

1

4n-1

，
∴S_n-S_n-1=4×

1

4n

-4×

1

4n-1

=-

12

4n

．
故答案為：-

12

4n

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積求法以及圖形的面積有關(guān)的規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找到問題的規(guī)律，有規(guī)律解決問題．