Question

拋物線y=a（x+6）²-3與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于C，D為拋物線的頂點(diǎn)，直線DE⊥x軸，垂足為E，AE²=3DE．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）P為直線DE上的一動(dòng)點(diǎn)，以PC為斜邊構(gòu)造直角三角形，使直角頂點(diǎn)落在x軸上．若在x軸上的直角頂點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作直線MN⊥DM，交直線DE于N，當(dāng)M點(diǎn)在拋物線的第二象限的部分上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在使點(diǎn)E三等分線段DN的情況？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知的拋物線解析式，可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求得DE、OE的長(zhǎng)，根據(jù)AE²=3DE，可求出AE的值，進(jìn)而可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）設(shè)出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，若以PC為斜邊的直角三角形在x軸上只有一個(gè)直角頂點(diǎn)，那么以PC為直徑的圓與x軸相切，可根據(jù)P、C的坐標(biāo)表示出PC中點(diǎn)Q的坐標(biāo)和PC的長(zhǎng)，令Q的縱坐標(biāo)等于PC的一半，即可得到關(guān)于P點(diǎn)縱坐標(biāo)的方程，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）此題比較復(fù)雜，需要分兩種情況考慮：
①NE=2DE，此時(shí)N（-6，6），可設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后分別表示出直線MN、直線MD的斜率，若兩條直線互相垂直，那么它們的斜率的積為-1，可據(jù)此得到關(guān)于M點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②2NE=DE，方法同①．

解答：解：（1）易知拋物線的頂點(diǎn)D（-6，-3），則DE=3，OE=6；
∵AE²=3DE=9，
∴AE=3，即A（-3，0）；
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，
得：a（-3+6）²-3=0，
即a=

1

3

，
即拋物線的解析式為：y=

1

3

（x+6）²-3=

1

3

x²+4x+9．


（2）設(shè)點(diǎn)P（-6，t），易知C（0，9）；
則PC的中點(diǎn)Q（-3，

9+t

2

）；
易知：PC=

36+(9-t)2

；
若以PC為斜邊構(gòu)造直角三角形，在x軸上的直角頂點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，以PC為直徑的圓與x軸相切，即：
|

9+t

2

|=

1

2

36+(9-t)2

，
解得t=1，
故點(diǎn)P（-6，1），
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，由拋物線的解析式可知，A（-3，0），B（-9，0）．
所以P（-6，0），
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-6，1）或（-6，0），


（3）設(shè)點(diǎn)M（a，b）（a＜0，b＞0），分兩種情況討論：
①當(dāng)NE=2DE時(shí)，NE=6，即N（-6，6），已知D（-6，-3），則有：
直線MN的斜率：k₁=

b-6

a+6

，直線MD的斜率：k₂=

b+3

a+6

；
由于MN⊥DM，則k₁•k₂=

(b-6)(b+3)

(a+6)2

=-1，
整理得：a²+b²+12a-3b+18=0…（△），
由拋物線的解析式得：

1

3

a²+4a+9=b，
整理得：a²+12a-3b+27=0…（□）；
（△）-（□）得：b²=9，即b=3（負(fù)值舍去），
將b=3代入（□）得：a=-6+3

2

，a=-6-3

2

，
故點(diǎn)M（-6+3

2

，3）或（-6-3

2

，3）；
②當(dāng)2NE=DE時(shí)，NE=

3

2

，即N（-6，

3

2

），已知D（-6，-3），
則有：直線MN的斜率：k₁=

b- 3 2

a+6

，直線DM的斜率：k₂=

b+3

a+6

；
由題意得：k₁•k₂=

(b- 3 2 )(b+3)

(a+6)2

=-1，
整理得：a²+b²+

3

2

b+12a+

63

2

=0，
而a²+12a-3b+27=0；兩式相減，
得：2b²+9b+9=0，
解得b=-2，b=-

3

2

，（均不符合題意，舍去）；
綜上可知：存在符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為：M（-6+3

2

，3）或（-6-3

2

，3）．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、直線與圓的位置關(guān)系、互相垂直兩直線的斜率關(guān)系等重要知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度很大．