Question

（2004•朝陽(yáng)區(qū)）已知拋物線(xiàn)y=ax²+（+3a）x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．是否存在實(shí)數(shù)a，使得△ABC為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：可根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式表示出A、B、C的坐標(biāo)，然后分別表示出AB、AC、BC的長(zhǎng)，可根據(jù)∠BAC=90°，∠BCA=90°，∠ABC=90°三種不同情況用勾股定理求出a的值．
解答：解：依題意，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，0），（x₂，0），
由ax²+（+3a）x+4=0，
解得x₁=-3，x₂=-，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-3，0），（，0），
∴AB=|-+3|，AC==5，BC==，
∴AB²=|-+3|²=-+9，
AC²=25，BC²=+16．
（�。┊�(dāng)AB²=AC²+BC²時(shí)，∠ACB=90°，
由AB²=AC²+BC²，
得-+9=25++16，
解得a=-，
∴當(dāng)a=-時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），
AB²=，AC²=25，BC²=，
于是AB²=AC²+BC²，
∴當(dāng)a=-時(shí)，△ABC為直角三角形．
（ⅱ）當(dāng)AC²=AB²+BC²時(shí)，∠ABC=90°，
由AC²=AB²+BC²，
得25=-+9++16，
解得a=．
當(dāng)a=時(shí)，-=-=-3，點(diǎn)B（-3，0）與點(diǎn)A重合，不合題意．
＜ⅲ＞當(dāng)BC²=AC²+AB²時(shí)，∠BAC=90°，
由BC²=AC²+AB²，
得25+-+9=+16，
解得a=，
不合題意．
綜合＜ⅰ＞、＜ⅱ＞、＜ⅲ＞，當(dāng)a=-時(shí)，△ABC為直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、直角三角形的判定和勾股定理等知識(shí)．