Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象與y軸交于點(diǎn)A，對(duì)稱軸是直線x=，以O(shè)A為邊在y軸右側(cè)作等邊三角形OAB，點(diǎn)B恰好在該拋物線上． 動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，以PA為邊作等邊三角形APQ（△APQ的頂點(diǎn) A、P、Q按逆時(shí)針標(biāo)記）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)與拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在如圖位置時(shí)，求證：△APO≌△AQB；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q剛好在拋物線上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）探究：是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸與點(diǎn)E，

∵二次函數(shù)解析式c=2，
∴OA=OB=AB=2，
又∠BOE=90°-∠AOB=30°，
∴BE=1，OE=，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，1）．
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入可得：3a+b+2=1①，
對(duì)稱軸=-=②
聯(lián)立①②可得a=-1．b=，
故可得函數(shù)解析式為：y=-x²+x+2．

（2）由題意得，AB=AO、AP=AQ，
又∵∠PAQ+∠QOA=∠BAO+∠QAO，
∴∠PAO=∠QAB，
故可得：△APO≌△AQB（SAS）．

（3）①當(dāng)Q在第三象限的拋物線上，設(shè)BQ與y軸交點(diǎn)為F，

由（2）可得∠ABQ=90°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠QBO=30°，
∴AFB=∠AOB-∠QBO=30°，
∴AF=2AB=4，OF=2，即F（0，-2）
把F（0，-2），B（，1）代入y=kx+b得k=，b=-2，
∴直線BQ解析式為：y=x-2，
解方程組：，
解得：，（舍去）
故可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-，-6）；
②當(dāng)Q與B重合時(shí)，Q的坐標(biāo)為（，1）
∴滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為：（，-6）、（，1）．

（4）由（2）可知，點(diǎn)Q總在過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的直線上，可見(jiàn)AO與BQ不平行．
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，此時(shí)，若AB∥OQ，四邊形AOQB即是梯形，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，
∵∠OBQ₁=30°（第三問(wèn)已做說(shuō)明），OB=2，
∴OQ₁=1，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，-），
∴AQ₁==AP=，
解得：x=-或（舍去）；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的上方此時(shí)，若AQ∥OB，四邊形AOQB即是梯形，

∵∠APO=30°，AO=2，
∴OP=2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）．
綜上可得P的坐標(biāo)為（-，0）或（2，0）
分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式c=2，可得出OA=OB=AB=2，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸與點(diǎn)E，根據(jù)OB=2，∠AOB=60°，可求出BE、OE的長(zhǎng)度，繼而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸為x=，再將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得出函數(shù)解析式．
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出AB=AO、AP=AQ，∠PAO=∠QAB，利用SAS可證得結(jié)論．
（3）需要分兩種情況，①點(diǎn)Q在第三象限的拋物線上，②點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上，分別求解即可．
（4）①當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，此時(shí)，AB∥OQ；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的上方此時(shí)，AQ∥OB，依次求解點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，注意在解答每一問(wèn)時(shí)，先作出圖形，有助于我們分析解答，要求我們將所學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通．