Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，二次函數(shù)y=-+bx+c的圖象經(jīng)過點A（4，0）、C（0，2）．
（1）試求這個二次函數(shù)的解析式，并判斷點B（-2，0）是否在該函數(shù)的圖象上；
（2）設(shè)所求函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點D，點E在x軸上，若以點C、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，試求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A（4，0）、C（0，2）的坐標(biāo)代入次函數(shù)y=-+bx+c，即可求得拋物線的解析式，再將B（-2，0）坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可知道它是否在該函數(shù)的圖象上；
（2）先求出D 點坐標(biāo)，再根據(jù)題中已知條件便可求出點E的坐標(biāo)．
解答：解：（1）點A（4，0）、C（0，2）的坐標(biāo)代入次函數(shù)y=-+bx+c；
可得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-+x+2；
將B（-2，0）坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=-+x+2可得-×4+×（-2）+2=0，
點B（-2，0）在該函數(shù)的圖象上；

（2）拋物線y=-+x+2的對稱軸為x=-=1，
∴D點坐標(biāo)為D（1，0），CD=，
∵點E在x軸上，
設(shè)E點坐標(biāo)為E（x，0），
由題意可知AB=4+2=6，AC=2，BC=2，
①當(dāng)△ABC∽△CDE時，∴=即=，
解得DE=，
∵D點坐標(biāo)為（1，0），
∴E點坐標(biāo)為（-+1，0）．
②當(dāng)△ABC∽△CED時，=，即=，∴=，
解得，x=，
∴點E的坐標(biāo)為（，0），（，0）；
③當(dāng)△ABC∽△DEC時，=，即=，
解得，x=，∴點E的坐標(biāo)為（，0），（，0）．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)及三角形的相似等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．