分析 (1)利用配方法求頂點A的坐標為:(-m,m+3),因為頂點A在一條直線l上運動,所以直線l的解析式是:y=-x+3;
(2)當△AOB是直角三角形時,分三種情況討論:令三個頂點分別為直角頂點時,作垂線構(gòu)建矩形AMNH,利用勾股定理或相似可以求出對應(yīng)m的值;
(3)因為△ABC和△ABO有一個共同的底邊AB,根據(jù)△ABC的面積是△ABO面積的2.4倍,可知對應(yīng)的高是2.4倍,所以作PC∥l,得OGGH=OEEP=12.4,可求得P(0,10.2),得出直線PC的解析式,所以該直線與拋物線的交點就是兩解析式組成的方程組的解.
解答 解:(1)y=15x2+25mx+15m2+m+3,
=15(x+m)2+m+3,
∴頂點A(-m,m+3),
設(shè)A(x,y),則x=-m,y=m+3,
∴m=-x,y=-x+3,
∴直線l的解析式是:y=-x+3;
故答案為:(-m,m+3),y=-x+3;
(2)由題意得:{y=−x+3y=15x2+25mx+15m2+m+3,
解得:{x1=−my1=m+3 {x2=−m−5y2=m+8,
∵A(-m,m+3),
∴B(-m-5,m+8),
作AH⊥y軸于H,作BN⊥y軸于N,作AM⊥BN于M,
則OA2=AH2+OH2=(-m)2+(m+3)2=2m2+6m+9,
OB2=BN2+ON2=(-m-5)2+(m+8)2=2m2+26m+89,
AB2=BM2+AM2=[-m-(-m-5)]2+(m+8-m-3)2=50,
∴BN=-m-5,BM=-m-(-m-5)=5,AM=m+8-m-3=5,OH=-m-3,ON=m+8,
分情況討論:
①當∠AOB=90°時,如圖1,
方法一:
∴∠NOB+∠AOH=90°,
∵∠AOH+∠OAH=90°,
∴∠NOB=∠OAH,
∵∠ONB=∠AHO=90°,
∴△BNO∽△OHA,
∴BNOH=ONAH,
∴−m−5−m−3=m+8−m,
∴m2+8m+12=0,
(m+2)(m+6)=0,
m1=-2,m2=-6,
方法二:則OB2+OA2=AB2,
∴m2+8m+12=0,
(m+2)(m+6)=0,
m1=-2,m2=-6,
②當∠ABO=90°時,如圖2,
方法一:
同理得:△BNO∽△AMB,
∴BNAM=ONBM,
∴−m−55=m+85,
m=-132,
方法二:則OB2+AB2=OA2,
∴20m+130=0,
m=-132,
③當∠OAB=90°時,OA2+AB2=OB2,
2m2+6m+9+50=2m2+26m+89,
20m=-30,
m=-32,
綜上所述,m的值為-2或-6或-132或-32;
(3)如圖3,過C作CP∥l,交y軸于P,過O作OH⊥PC于H,交l于G,則OH⊥l,
設(shè)直線l與兩坐標軸交于E、F,
當x=0時,y=3,
當y=0時,x=3,
∴OE=OF=3,
∵S△ABC=2.4S△ABO,
∴OGGH=12.4,
∵EF∥PC,
∴OGGH=OEEP=12.4,
∴3EP=12.4,
∴EP=7.2,
∴P(0,10.2),
則直線PC的解析式為:y=-x+10.2,
∴{y=−x+10.2y=15x2+25mx+15m2+m+3,
15x2+25mx+15m2+m+3=-x+10.2,
x2+2mx+m2+5m+15+5x-51=0,
x2+(2m+5)x+m2+5m-36=0,
(x+m+9)(x+m-4)=0,
x1=-m-9,x2=-m+4,
當x1=-m-9時,y1=m+19.2,
當x2=-m+4時,y2=m+6.2,
∴C(-m-9,m+19.2)或(-m+4,m+6.2).
當直線PC∥l,且PC在l的下方時,
同理得EP=7.2,
∴P(0,-4.2),
∴直線PC的解析式為:y=-x-4.2,
則{y=−x−4.2y=15x2+25mx+15m2+m+3,
此方程組無解,
綜上所述,點C的坐標為(-m-9,m+19.2)或(-m+4,m+6.2).
點評 本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識,熟練掌握兩函數(shù)的交點就是兩解析式組成的方程組的解,對于給出的直角三角形時,要采用分類討論的方式解決問題.
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A. | 0.36a2-0.04b2 | B. | x2-16 | C. | -a2+b2+c2 | D. | -x2+y2 |
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