如圖1,在第一象限內(nèi),直線y=mx與過點B(0,1)且平行于x軸的直線l相交于點A,半徑為r的⊙Q與直線y=mx、x軸分別相切于點T、E,且與直線l分別交于不同的M、N兩點.
(1)當點A的坐標為(,p)時,
①填空:p=______,m=______
【答案】分析:(1)①由點A(,p)在直線l上,得到p=1;點A在直線y=mx上,得到m=;在Rt△OBA中,OB=1,AB=,OA=,得到∠AOE=60°;
②連接TM,ME,EN,ON,根據(jù)切線的性質(zhì)得到QE⊥x軸,QT⊥OT,由QE⊥MN,得到MF=NF,而r=2,EF=1,則四邊形QNEM為平行四邊形,即QN∥ME;同時有△QEN為等邊三角形,則∠NQE=60°,∠QNF=30°;在四邊形OEQT中,∠QTO=∠QEO=90°,∠TOE=60°,可求出∠TQE=120°,于是有∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°,即T、Q、N三點共線,得到TN為直徑;得到∠TMN=90°,得到TN∥ME,所以∠MTN=60°=∠TNE,得到以T、M、E、N為頂點的四邊形是等腰梯形;
(2)連DM,ME,根據(jù)垂徑定理和圓周定理的推論得到∠DME=90°,DM垂直平分MN,所以Rt△MFD∽Rt△EFM,得到MF2=EF•FD,設(shè)D(h,k),(h>0,k=2r),則過M、D、N三點的拋物線的解析式為:y=a(x-h)2+k,令y=1,得到x1=h-,x2=h+,則MF=MN=,得到(2=1•(k-1),解得a=-1.
解答:解:(1)①∵點A的坐標為(,p),點A在直線l上,
∴p=1,即點A坐標為(,1);
而點A在直線y=mx上,
∴1=m,解得m=;
在Rt△OBA中,OB=1,AB=,
∴OA=,
∴∠AOB=30°,
∴∠AOE=60°.
故答案為1,,60°;

②連接TM,ME,EN,如圖,
∵OE和OT是⊙Q的切線,
∴QE⊥x軸,QT⊥OT,即∠QTA=90°,
而l∥x軸,
∴QE⊥MN,
∴MF=NF,
又∵當r=2,EF=1,
∴QF=2-1=1,
∴四邊形QNEM為平行四邊形,即QN∥ME,
∴NQ=NE,即△QEN為等邊三角形,
∴∠NQE=60°,∠QNF=30°,
在四邊形OEQT中,∠QTO=∠QEO=90°,∠TOE=60°,
∴∠TQE=360°-90°-90°-60°=120°,
∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°,
∴T、Q、N三點共線,即TN為直徑,
∴∠TMN=90°,
∴TN∥ME,
∴∠MTN=60°=∠TNE,
∴以T、M、E、N為頂點的四邊形是等腰梯形;

(2)對m、r的不同取值,經(jīng)過M、D、N三點的拋物線y=ax2+bx+c,a的值不會變化.理由如下:
連DM,ME,如圖,
∵DE為直徑,
∴∠DME=90°,
而DE垂直平分MN,
∴Rt△MFD∽Rt△EFM,
∴MF2=EF•FD,
設(shè)D(h,k),(h>0,k=2r),則過M、D、N三點的拋物線的解析式為:y=a(x-h)2+k,
又∵M、N的縱坐標都為1,
當y=1,a(x-h)2+k=1,解得x1=h-,x2=h+,
∴MN=2,
∴MF=MN=
∴(2=1•(k-1),
∵k>1,
=k-1,
∴a=-1.
點評:本題考查了拋物線的頂點式:y=a(x-h)2+k,其中頂點坐標為(h,k);也考查了等腰梯形的判定和三角形相似的判定與性質(zhì)以及垂徑定理.
練習冊系列答案
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如圖1,在第一象限內(nèi),直線y=mx與過點B(0,1)且平行于x軸的直線l相交于點A,半徑為r的⊙Q與直線y=mx、x軸分別相切于點T、E,且與直線l分別交于不同的M、N兩點.
(1)當點A的坐標為(
3
3
,p)時,
①填空:p=
 
,m=
 
,∠AOE=
 

②如圖2,連接QT、QE,QE交MN于點F,當r=2時,試說明:以T、M、E、N為頂點的四邊形是等腰梯形;
(2)在圖1中,連接EQ并延長交⊙Q于點D,試探索:對m、r的不同取值,經(jīng)過M、D、N三點的拋物線y=ax2+bx+c,a的值會變化嗎?若不變,求出a的值;若變化.請說明理由.
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(1)當點A的坐標為(,p)時,
①填空:p=______,m=______

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(1)當點A的坐標為(,p)時,
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(1)當點A的坐標為時,

① 填空:=   , =    ,=    ;

②如圖2,連結(jié),交直線,當時,試說明以、 、 、為頂點的四邊形是等腰梯形;

(2)在圖1中,連結(jié)并延長交⊙于點,試探索:對不同的取值,經(jīng)過、、三點的拋物線,的值會變化嗎?若不變,求出的值;若變化,請說明理由.

 

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