Question

【題目】★如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x－2與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為1.

(1)判斷原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，求⊙P被y軸所截得的劣弧的長；

(3)當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2） （3） 或

【解析】試題分析：（1）由直線y＝與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，可求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，繼而求得∠OBA＝30°，然后過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，利用三角函數(shù)可求得OH的長，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得出答案；

（2）當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，易得⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角為：180°－30°－30°＝120°，則可求得弧長；同理可求得當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，⊙P被y軸所截得的劣弧的長；

（3）首先求得當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸下方時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用對稱性可以求得當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸上方時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)．

試題解析：解：（1）原點(diǎn)O在⊙P外．理由如下：

∵直線y＝x－2與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－2)．

在Rt△OAB中，tan∠OBA＝＝＝，

∴∠OBA＝30°．

如圖①，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，

在Rt△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝．

∵＞1，

∴原點(diǎn)O在⊙P外；

（2）如圖②，當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，

∵PB＝PC，

∴∠PCB＝∠OBA＝30°，

∴⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角的度數(shù)為180°－30°－30°＝120°，

∴弧長為＝；

同理：當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，弧長同樣為．

∴當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，⊙P被y軸所截得的劣弧的長為；

（3）如圖③，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸下方時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，作PD⊥x軸，

∴PD∥y軸，

∴∠APD＝∠ABO＝30°．

在Rt△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝，

∴OD＝OA－AD＝2－，

∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸上方時(shí)，根據(jù)對稱性可以求得此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上所述，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為或．