Question

（2005•吉林）圖中的虛線(xiàn)網(wǎng)格我們稱(chēng)之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正三角形，這樣的三角形稱(chēng)為單位正三角形．

（1）直接寫(xiě)出單位正三角形的高與面積；
（2）圖1中的平行四邊形ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？
（3）求出圖1中線(xiàn)段AC的長(zhǎng)（可作輔助線(xiàn)）；
（4）求出圖2中四邊形EFGH的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正三角形的邊長(zhǎng)為1，做底邊上的高h(yuǎn)，利用勾股定理可求h=，S_△=；
（2）把平行四邊形所占的網(wǎng)格中的正三角形數(shù)一下即可，有24個(gè)，那么S?=6；
（3）作BC邊上的高AK，垂足為K，據(jù)圖可知，∠B=60°，則∠BAK=30°，由AB=6，利用勾股定理，可求BK=，AK=，CK=，利用勾股定理，可求AC=；
（4）如圖，可構(gòu)造平行四邊形，比如以FG為對(duì)角線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形FPGM，S_FPGM=6S_△，故S_△FGM=3S_{單位正三角形}，同理可得其他部分的面積，于是S_EFGH=（3+4+8+9+8）×=．
解答：解：（1）單位正三角形的高為，面積為．（1分）

（2）平行四邊形ABCD含有24個(gè)單位正三角形．（2分）
其面積為（3分）

（3）過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BC于K（如圖1）．
在Rt△ACK中，AK=，．
∴（4分）

（4）解法一：如圖2所示，將四邊形EFGH分割成五部分．
以FG為對(duì)角線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形FPGM，
∵平行四邊形FPGM中含有6個(gè)單位正三角形，
∴S_△FGM=3S_{單位正三角形}．
同理可得到其他四部分面積．
∴S_{四邊形EFGH}=（3+4+8+9+8）×=（8分）

解法二：如圖3所示，構(gòu)造平行四邊形EQSR．
過(guò)點(diǎn)F作FT⊥QG于T，則
S_△FQG=FT•QG=
同理可求S_△GSH=，
S_△EHR=，S_{平行四邊形EQSR}=18
∴S_{四邊形EFGH}=S_{平行四邊形EQSR}-S_△FQG-S_△GSH-S_△EHR
=．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題利用了正三角形的性質(zhì)，勾股定理，有一個(gè)銳角是30°的直角三角形的性質(zhì)，及構(gòu)造平行四邊求圖形面積等知識(shí)．