Question

在ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)線段AP的長(zhǎng)為x，線段BP的長(zhǎng)為y（如圖1），而y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，點(diǎn)Q是函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)，請(qǐng)仔細(xì)觀察圖1和圖2，解答下列問題．
（1）AC邊的長(zhǎng)為______，BC邊的長(zhǎng)為______；
（2）求∠C的度數(shù)；
（3）若△BPC為鈍角三角形，求x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）觀察圖2，當(dāng)x=9時(shí)，y=4，此時(shí)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了C點(diǎn)，
所以AC=AP=9，BC=BP=4；
故答案為9，4；

（2）作BD⊥AC于D，如圖，
∵點(diǎn)Q是函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)，即x=7時(shí)，y的值最小，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，BP最短，即AD=7，
∴DC=AC-AD=9-7=2，
在Rt△BCD中，CD=2，BC=4，
∴∠CBD=30°，
∴∠C=60°；

（3）作EB⊥BC交AC于E，如圖，
∵∠CBD=30°，
∴∠EBD=60°，∠BED=30°，
在Rt△BCE中，EC=2BC=8，
∴AE=1，
當(dāng)點(diǎn)P在線段AE（不含E點(diǎn)）或線段CD（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPC為鈍角三角形，
∴x的取值范圍為0≤x＜1或7＜x＜9．
分析：（1）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x=9時(shí)，y=4，說明此時(shí)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了C點(diǎn)，于是得到AC=9，BC=4；
（2）作BD⊥AC于D，由函數(shù)圖象得x=7時(shí)，y的值最小，即P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，BP最小，所以AD=7，則DC=2，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到
∠CBD=30°，利用互余有∠C=60°；
（3）作EB⊥BC交AC于E，則點(diǎn)P在線段AE（不含E點(diǎn)）或線段CD（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPC為鈍角三角形，利用∠CBD=30°可得到∠EBD=60°，∠BED=30°，在Rt△BCE中，可計(jì)算出EC=8，所以AE=1，于是得到滿足條件的x的取值范圍為0≤x＜1或7＜x＜9．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時(shí)，要理清圖象的含義即會(huì)識(shí)圖．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．