Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°．以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)F，CD的中點(diǎn)E恰好在⊙O上．
（1）CD是⊙O的切線嗎？請說明理由；
（2）若AD=2，BC=6，求的長度（結(jié)果保留π）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由于OE分別是AB、CD中點(diǎn)，可知OE是梯形ABCD的中位線，從而有OE∥AD∥BC，而∠D=90°，易求∠OED=90°，從而可知CD是⊙O切線；
（2）連接OF、AF，利用中位線定理可知OE=4，由于AB是直徑，那么∠AFB=90°，即∠AFC=90°，易證四邊形AFCD是矩形，于是CF=AD=2，那么BF=6-2=4，而OB=OF=OE=4，于是OB=OF=BF=4，即△BOF是等邊三角形，即∠BOF=60°，利用弧長公式即可求弧BF．
解答：解：（1）CD是⊙O的切線．理由如下：
連接OE．
∵O是AB中點(diǎn)，E是CD中點(diǎn)，
∴OE是直角梯形ABCD的中位線，
∴OE∥AD∥BC，
∴∠OEC=∠D=90°，（3分）
又∵OE是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；（4分）

（2）連接OF、AF．
由（1）得OE==4，
∴OB=OF=4，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，（5分）
∵直角梯形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∴四邊形AFCD是矩形．
∴CF=AD=2，
∴BF=BC-CF=4，（6分）
∴OB=OF=BF=4，
∴∠BOF=60°，（7分）
∴的長度==π．（8分）
點(diǎn)評：本題考查了梯形中位線定理和性質(zhì)、切線的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、弧長的計算．解題的關(guān)鍵是作輔助線，連接OE、OF、AF，構(gòu)造矩形AFCD．