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已知拋物線y=x2+4x+m(m為常數(shù))經(jīng)過點(0,4)
(1)求m的值;
(2)將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線.已知這條平移后的拋物線滿足下述兩個條件:它的對稱軸(設為直線l2)與平移前的拋物線的對稱軸(設為l1)關于y軸對稱;它所對應的函數(shù)的最小值為-8.
①試求平移后的拋物線所對應的函數(shù)關系式;
②試問在平移后的拋物線上是否存在著點P,使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切,又與直線l2相交?若存在,請求出點P的坐標,并求出直線l2被⊙P所截得的弦AB的長度;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)將(0,4)代入拋物線,得:02+4×0+m=4,解得m=4;
(2)①根據(jù)(1)求出的拋物線,可知其對稱軸,平移后的拋物線的對稱軸與平移前的對稱軸關于y軸對稱,即可求出新拋物線對稱軸,再根據(jù)第二個條件,最小值為-8,即可求出平移后的拋物線的關系式;
②該題需要分情況討論,假設p點存在,且p在x軸上方,根據(jù)題意可知,p的縱坐標是3,代入關系式求解,求出p點坐標,在驗證該點是否在直線上;若p在y軸下方,則p的縱坐標是-3,代入關系式,求出坐標,再進行檢驗.
解答:解:(1)依題意得:02+4×0+m=4,解得m=4(3分)

(2)①由(1)得:y=x2+4x+4=(x+2)2,
∴對稱軸為直線l1:x=-2(4分)
依題意得平移后的拋物線的對稱軸為直線l2:x=2(5分)
故設平移后的拋物線所對應的函數(shù)關系式為y=(x-2)2+k(6分)
∵此函數(shù)最小值為-8,
∴k=-8
即平移后的拋物線所對應的函數(shù)關系式為y=(x-2)2-8=x2-4x-4(7分)
②存在.理由如下:
由①知平移后的拋物線的對稱軸為直線l2:x=2
當點P在x軸上方時,∵⊙P與x軸相切,
∴令y=x2-4x-4=3,
解得x=2±(8分)
∵此時點P1(2+,3),P2(2-,3)與直線x=2之距均為
∴點P1、P2不合題意,應舍去.(9分)
當點P在x軸下方時,
∵⊙P與x軸相切,
∴令y=x2-4x-4=-3,
解得x=2±(10分)
此時點P3(2+,-3),P4(2-,-3)與直線x=2之距均為,
<3,⊙P3、⊙P4均與直線l2:x=2相交,
∴點P3、P4符合題意.(11分)
此時弦AB=2×
綜上,點P的坐標為(2+,-3)或(2-,-3),
直線l2被⊙P所截得的弦AB的長為4.(13分)
點評:再熟練掌握二次函數(shù)的解析式和圖象之間的關系下,掌握平移引起的對稱軸的變化;該題綜合性開放性很強,二次函數(shù)圖象與圓相切,以及與一次函數(shù)的交點等等問題,是綜合型的函數(shù)題中常見的問題.
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已知拋物線y=x2-8x+c的頂點在x軸上,則c等于( �。�
A、4B、8C、-4D、16

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已知拋物線y=x2+(1-2a)x+a2(a≠0)與x軸交于兩點A(x1,0)、B(x2,0)(x1≠x2).
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精英家教網(wǎng)(1)求b+c的值;
(2)若點C在拋物線上,且四邊形OABC是平行四邊形,試求拋物線的解析式;
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(2012•虹口區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(0,3),B(1,0)兩點,頂點為M.
(1)求b、c的值;
(2)將△OAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后,點A落到點C的位置,該拋物線沿y軸上下平移后經(jīng)過點C,求平移后所得拋物線的表達式;
(3)設(2)中平移后所得的拋物線與y軸的交點為A1,頂點為M1,若點P在平移后的拋物線上,且滿足△PMM1的面積是△PAA1面積的3倍,求點P的坐標.

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(2012•黔南州)已知拋物線y=x2-x-1與x軸的交點為(m,0),則代數(shù)式m2-m+2011的值為( �。�

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