Question

已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB垂足為D，BE⊥AC垂足為E，連接DE，點G、F分別是BC、DE的中點．
求證：GF⊥DE．

Answer 1

證明：連接DG、EG．
∵CD⊥AB，點G是BC的中點，
∴在Rt△BCD中，DG=BC（直角三角形的斜邊上的中線是斜邊的一半）．（2分）
同理，EG=BC．（2分）
∴DG=EG（等量代換）．（1分）
∵F是DE的中點，
∴GF⊥DE．（2分）
分析：作輔助線（連接DG、EG）構(gòu)建Rt△BCD和Rt△BCE斜邊上的中線，然后根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半求得DG=EG=BC，從而判定△DEG是等腰三角形；最后根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知GF⊥DE．
點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)．熟練運用等腰直角三角形“三線合一”的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．