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閱讀理解：對于任意正實數a，b，（
a
-
b
）2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，只有當a=b時，等號成立．
結論：在a+b≥2
ab
（a，b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2
p
，
只有當a=b時，a+b有最小值2
p
．
根據上述內容，回答下列問題：
（1）若m＞0，只有當m=
1
1
時，m+
1
m
有最小值
2
2
；
（2）探索應用：已知A（-3，0），B（0，-4），點P為雙曲線y=
12
x
(x＞0)上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．
分析：（1）由m+
1
m
≥2
m•
1
m
=2，當且僅當m=
1
m
時，取等號，即可求得此時m的值且m+
1
m
的最小值；
（2）首先設點P的坐標為（x，
12
x
），由已知即可得S四邊形ABCD=S△OAD+S△OAB+S△OBC+S△OCD=
18
x
+2x+12，根據已知即可求得四邊形ABCD面積的最小值，即此時點P的坐標，繼而可求得此時四邊形ABCD的形狀．
解答：解：（1）∵m+
1
m
≥2
m•
1
m
=2，當且僅當m=
1
m
時，取等號，
又∵m＞0，
∴只有當m=1時，m+
1
m
有最小值為2；
故答案為：1，2；

（2）設點P的坐標為（x，
12
x
），
∴OD=
12
x
，OC=x，
∵A（-3，0），B（0，-4），
∴OA=3，OB=4，
∴S四邊形ABCD=S△OAD+S△OAB+S△OBC+S△OCD=
1
2
OA•OD+
1
2
OA•OB+
1
2
OB•OC+
1
2
OD•OC=
1
2
×3×
12
x
+
1
2
×3×4+
1
2
×4×x+
1
2
×x×
12
x
=
18
x
+2x+12≥2
18
x
×2x
+12=24，
當且僅當
18
x
=2x時，取等號，
∵x＞0，
∴當x=3時，四邊形ABCD面積的最小值為24；
∴OD=4，OC=3，
∴OD=OB=4，OA=OC=3，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形．
∴當x=3時，四邊形ABCD面積的最小值為24，且此時四邊形ABCD是菱形．
點評：此題考查了反比例函數的性質、待定系數法求函數的解析式、幾何不等式的應用以及菱形的判定等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意理解題意，掌握幾何不等式的應用，注意數形結合、函數思想與方程思想的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀理解：
對于任意正實數a，b，因為(
a
-
b
)2≥0，所以a-2
ab
+b≥0，所以a+b≥2
ab
，只有當a=b時，等號成立．
結論：在a+b≥2
ab
（a，b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2
p
，只有當a=b時，a+b有最小值2
p
．
（1）根據上述內容，回答下列問題：若m＞0，只有當m=
 
時，m+
1
m
有最小值
 
；
（2）探索應用：如圖，有一均勻的欄桿，一端固定在A點，在離A端2米的B處垂直掛著一個質量為8千克的重物．若已知每米欄桿的質量為0.5千克，現在欄桿的另一端C用一個豎直向上的拉力F拉住欄桿，使欄桿水平平衡．試精英家教網問欄桿多少長時，所用拉力F最小？是多少？

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科目：初中數學 來源： 題型：

閱讀理解：對于任意正實數a、b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，只有當a=b時，等號成立．
結論：在a+b≥2
ab
（a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2
p
，只有當a=b時，a+b有最小值2
p
．
根據上述內容，回答：若m＞0，只有當m=
 
時，m+
1
m
有最小值
 
．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

精英家教網閱讀理解：對于任意正實數a，b，
∵（
a
-
b
）2≥0，
∴a-2
ab
+b≥0，
∴a+b≥2
ab
，只有當a=b時，等號成立．
結論：在a+b≥2
ab
（a，b均為正實數）中，若ab為定值P，則a+b≥2
p
，
當a=b，a+b有最小值2
p
．
根據上述內容，回答下列問題：
（1）若x＞0，x+
4
x
的最小值為
 
．
（2）探索應用：如圖，已知A（-2，0），B（0，-3），點P為雙曲線y=
6
x
（x＞0）上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀理解：
對于任意正實數a，b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，只有當a=b時，等號成立．若ab為定值P，則a+b≥2
P
，只有當a=b時，a+b有最小值2
P
．
（1）如圖1，AB為半圓O的直徑，C為半圓上的任意一點，（與點A、B不重合）過點C作CD⊥AB，垂足為D，AD=a，DB=b．根據圖象驗證，a+b≥2
ab
，并指出等號成立時的條件．

（2）根據上述內容，回答下列問題
①若m＞0，只有當m=
1
1
時，m+
1
m
有最小值為
2
2
．
②如圖2所示：A（-3，0），B（0，-4），P為雙曲線y=
12
x
(x＞0)上任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D，求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時ABCD的形狀．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀理解：
對于任意正實數a、b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，
∴a+b≥2
ab
，只有當a=b時，等號成立．
結論：在a+b≥2
ab
（a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2
p
，只有當a=b時，a+b有最小值2
p
．
（1）根據上述內容，回答下列問題：
若m＞0，只有當m=
1
1
時，m+
1
m
有最小值
2
2
．
（2）探索應用：如圖，已知A（-3，0），B（0，-4），P為雙曲線y=
12
x
（x＞0）圖象上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值．
（3）判斷此時四邊形ABCD的形狀，說明理由．

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