Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，點D是BC上一動點，連結AD，將△ACD沿AD折疊，點C落在點C′，連結C′D交AB于點E，連結BC′．當△BC′D是直角三角形時，DE的長為 ．

Answer 1

【答案】 或
【解析】解：如圖1所示；點E與點C′重合時．
在Rt△ABC中，BC= =4．
由翻折的性質可知；AE=AC=3、DC=DE．則EB=2．
設DC=ED=x，則BD=4﹣x．
在Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2 ， 即x2+22=（4﹣x）2 ．
解得：x= ．
∴DE= ．
如圖2所示：∠EDB=90時．

由翻折的性質可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．
∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，
∴四邊形ACDC′為矩形．
又∵AC=AC′，
∴四邊形ACDC′為正方形．
∴CD=AC=3．
∴DB=BC﹣DC=4﹣3=1．
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA．
∴ ，即 ．
解得：DE= ．
點D在CB上運動，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能為直角．
故答案為： 或 ．
點E與點C′重合時．在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC=4，由翻折的性質可知：AE=AC=3、DC=DE．則EB=2．設DC=ED=x，則BD=4﹣x．在Rt△DBE中，依據勾股定理列方程求解即可；當∠EDB=90時．由翻折的性質可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°，然后證明四邊形ACDC′為正方形，從而求得DB=1，然后證明DE∥AC，△BDE∽△BCA，依據相似三角形的性質可求得DE= ．