Question

【題目】已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P(1，1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N．點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，連結(jié)PF，過點(diǎn)P作PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動的時(shí)間是t秒（t>0）．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)（用t表示）；

（2）在點(diǎn)F運(yùn)動過程中，當(dāng)PF=2OE時(shí)，求t的值．

（3）當(dāng)t>1時(shí)，作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)F′．點(diǎn)Q是線段MF′的中點(diǎn)，連結(jié)QE．在點(diǎn)F運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△QOE與△PMF相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（0，1－t）；（2）或；（3）存在：當(dāng)t＝，t＝，t＝2+時(shí)，使得△QOE與△PMF相似．

【解析】試題分析：

（1）連接PM、PN，由已知條件易證△PMF≌△PNE，由此可得NE=MF=t，則可得OE=t-1，結(jié)合點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)了；

（2）在Rt△PFM中，易得PF=，結(jié)合OE=即可得到方程，解此方程即可求得對應(yīng)的t的值；

（3）由F(1＋t，0)，F和F′關(guān)于點(diǎn)M對稱可得F′(1－t，0)，結(jié)合點(diǎn)Q是線段MF′的中點(diǎn)可得Q(1－t，0)，然后在1＜t＜2時(shí)，分△OEQ∽△MPF和△OEQ∽△MFP兩種情況討論計(jì)算可求得對應(yīng)的t的值；在當(dāng)t＞2時(shí)，分△OEQ ∽△MPF和△OEQ ∽△MFP兩種情況討論計(jì)算可求得對應(yīng)的t的值.

試題解析：

（1）如下圖，連結(jié)PM，PN．

∵以P(1，1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，

∴∠PNE=∠PMF=∠MPN=90°，

∴∠NPE+∠EPM=∠EPM+∠MPF=90°，

∴∠NPE=∠MPF，

又∵PM=PN，

∴△PMF≌△PNE，

∴NE＝MF=t，

∴OE=t-1，

∴E（0，1－t）；

（2）在直角△PMF中， ，

由PF=2OE得 ，

解得或．

（3）存在，理由如下；

∵F(1＋t，0)，F和F′關(guān)于點(diǎn)M對稱，

∴F′(1－t，0)，

∵點(diǎn)Q是MF′的中點(diǎn)，

∴Q(1－t，0)，

①當(dāng)1＜t＜2時(shí)，如圖，有OQ＝1－t，

由（1）得∴NE＝MF＝t，OE＝t－1．

當(dāng)△OEQ∽△MPF時(shí)，

∴ ，

∴ ，

解得，t＝或t＝ (舍去)；

當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí)， ，

∴ ，解得，t＝或t＝ (舍去)；

②當(dāng)t＞2時(shí)，如圖，有OQ＝t－1，

由（1）得NE＝MF＝t，OE＝t－1，

當(dāng)△OEQ ∽△MPF， ，

∴ ，無解；

當(dāng)△OEQ ∽△MFP時(shí)， ；

∴ ，

解得或（舍去）．

綜上所述，當(dāng)t＝，t＝， 時(shí)，使得△QOE與△PMF相似．