Question

【題目】．如圖，點A、B在⊙O上，直線AC是⊙O的切線，OD⊥OB，連接AB交OC于點D．

⑴求證：AC=CD

⑵若AC=2，AO=，求OD的長度．

Answer 1

【答案】⑴證明：∵AC是⊙切線，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∴∠OAB＋∠CAB=90°．

∵OC⊥OB，

∴∠COB=90°，

∴∠ODB＋∠B=90°．

∵OA=OB

∴∠OAB=∠B，

∴∠CAB=∠ODB．

∵∠ODB=∠ADC，

∴∠CAB=∠ADC

∴AC=CD．

⑵解：在Rt△OAC中，OC==3

∴OD=OC－CD=OC－AC=3－2=1

【解析】

試題（1）由AC為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到∠OAC為直角，再由OC與OB垂直，得到∠BOC為直角，由OA=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再利用對頂角相等及等角的余角相等得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證.

（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的長.

試題解析：（1）∵OA=OB，∴∠OAB=∠B.

∵直線AC為圓O的切線，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°.

∵OB⊥OC，∴∠BOC="90°." ∴∠ODB+∠B=90°.

∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°.

∴∠DAC=∠CDA. ∴AC=CD.

（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，

根據(jù)勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，

解得：OD=1（負值已舍去）.