Question

在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點是M，FH的中點是P．

   （1）如圖1，點A、C、E在同一條直線上，根據(jù)圖形填空：

①△BMF是   三角形；

②MP與FH的位置關系是    ，MP與FH的數(shù)量關系是    ；

   （2）將圖1中的CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖2，解答下列問題：

        ① 證明：△BMF是等腰三角形；

        ②（1）中得到的MP與FH的位置關系與數(shù)量關系的結論是否仍然成立？證明你的結論；

 （3）將圖2中的CE縮短到圖3的情況，（2）中的三個結論還成立嗎？（成立的不需要說明理由，不成立的需要說明理由）

 

Answer 1

（1）①等腰直角；②MP⊥FH，MP=FH；（3分）

（2）①∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，∴MB∥CD，且MB=CD=BC = BF，∴△BMF是等腰三角形（5分）；

② 仍然成立．證明：如圖，連接MH、MD，設FM與AC交于點Q．由①可知MB∥CD，MB=CD，∴四邊形BCDM是平行四邊形（6分），∴ ∠CBM =∠CDM．

又∵∠FBQ =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH，

∴△FBM ≌ △MDH（7分 )，∴FM = MH，

且∠MFB =∠HMD，∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =

∠AQM－∠MFB =∠FBP = 90°，∴△FMH是等腰直角三角形（9分 )．

∵P是FH的中點，∴MP⊥FH，MP=FH（10分 )；

（3）△BMF不是等腰三角形（11分 )，理由：MB=CD≠BC = BF且∠FBM＞90°（12分，必須同時正確才能得1分 )；MP⊥FH仍然成立（13分 ),MP=FH仍然成立（14分 )．