Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，F為AB上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AF=EC，連接EF，DE，DF，M是FE中點(diǎn)，連結(jié)MC，設(shè)FE與DC相交于點(diǎn)N．則4個(gè)結(jié)論：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=，則BF=2；正確的結(jié)論有( )個(gè)

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證明△ADF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=90°，而∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG不一定等于∠CDE，于是∠DGN不一定等于∠DNG，判斷出①錯(cuò)誤；

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF，然后判斷出△DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DEF=45°，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE，判斷出②正確；

連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得然后判斷出直線CM垂直平分BD，判斷出③正確；

過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于H，得到∠MCH=45°，然后求出MH，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BF=2MH，判斷出④正確．

在正方形ABCD中，AD=CD，

在△ADF和△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，

∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，

∴∠DEF=45°，

∵∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，

而∠FDG與∠CDE不一定相等，

∴∠DGN與∠DNG不一定相等，故判斷出①錯(cuò)誤；

∵△DEF是等腰直角三角形，

∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（對(duì)頂角相等），

∴△BFG∽△EDG，

∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，

∴△EDG∽△BDE，

∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正確；

如圖，連接BM、DM

．

∵△AFD≌△CED，

∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，

∴∠FDE=∠ADC=90°，

∵M是EF的中點(diǎn)，

∴

∵

∴MD=MB，

在△DCM與△BCM中，

，

∴△DCM≌△BCM（SSS），

∴∠BCM=∠DCM，

∴CM在正方形ABCD的角平分線AC上，

∴MC垂直平分BD；故③正確；

過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于H，則∠MCH=45°，

∵，

∴，

∵M是EF的中點(diǎn)，BF⊥BC，MH⊥BC，

∴MH是△BEF的中位線，

∴BF=2MH=2，故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有②③④．

故選：B．