Question

如圖所示，在平面直角坐標中，四邊形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點P為x軸上的一個動點，但是點P不與點0、點A重合．連接CP，D點是線段AB上一點，連PD．
（1）求點B的坐標；
（2）當點P運動到什么位置時，△OCP為等腰三角形，求這時點P的坐標；
（3）當∠CPD=∠OAB，且

BD

AB

=

5

8

，求這時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）過B作BQ⊥OA于Q易得∠COA=∠BAQ=60°，在Rt△BQA中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得QB的長，進而可得OQ的長，即可得B的坐標，
（2）分點P在x正半軸上與x負半軸上上兩種情況討論，結合等腰三角形的性質(zhì)，可得OP、OC的長，進而可得答案，
（3）根據(jù)題意易得△COP∽△PAD，進而可得比例關系

OP

AD

=

OC

AP

，代入數(shù)據(jù)可得答案．

解答：解：（1）作BQ⊥x軸于Q．
∵四邊形OABC是等腰梯形，
∴∠BAQ=∠COA=60°
在Rt△BQA中，BA=4，
∴BQ=AB•sin∠BAO=4×sin60°=2

3

，
AQ=AB•cos∠BAO=4×cos60°=2，
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
點B在第一象限內(nèi)，
∴點B的坐標為（5，2

3

）

（2）若△OCP為等腰三角形，
∵∠COP=60°，
∴△OCP為等邊三角形或是頂角為120°的等腰三角形，
若△OCP為等邊三角形，OP=OC=PC=4，且點P在x軸的正半軸上，
∴點P的坐標為（4，0），
若△OCP是頂角為120°的等腰三角形，則點P在x軸的負半軸上，且OP=OC=4，
∴點P的坐標為（-4，0），
∴點P的坐標為（4，0）或（-4，0），

（3）∵∠CPA=∠OCP+∠COP，
即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP，
而∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，
∴∠OCP=∠DPA，
∵∠COP=∠BAP，
∴△OCP∽△APD，
∴

OP

AD

=

OC

AP

，
∴OP•AP=OC•AD，
∵

BD

AB

=

5

8

，
∴BD=

5

8

AB=

5

2

，AD=AB-BD=4-

5

2

=

3

2

，
∵AP=OA-OP=7-OP，
∴OP（7-OP）=4×

3

2

，
解得OP=1或6，
∴點P坐標為（1，0）或（6，0）．

點評：本題主要考查了坐標與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道動態(tài)幾何壓軸題，對學生的分類思想作了重點的考查，是一道很不錯的題，難度較大．